Ημιπολύτιμος λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7973
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ημιπολύτιμος λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:34 pm

Ημιπολύτιμος λόγος.png
Ημιπολύτιμος λόγος.png (8.91 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές
Έστω AD το ύψος, H το ορθόκεντρο και I το έγκεντρο ισοσκελούς τριγώνου ABC(AB=AC).

Αν AH=ID, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{b}{a}.



Λέξεις Κλειδιά:
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1000
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ημιπολύτιμος λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιούλ 14, 2018 11:40 am

Καλημέρα! Με την βοήθεια Γιώργο της καλής μας Τριγωνομετρίας και χρήση του σχήματος:
Ημί..χρυσος λόγος G.V.PNG
Ημί..χρυσος λόγος G.V.PNG (12.71 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές
Έστω \widehat{B}=\widehat{C}=2\omega \Rightarrow \widehat{BHD}=2\omega  (DHFC εγγράψιμο).
Έχουμε ID=\dfrac{a\varepsilon \varphi \omega }{2} , AI=HD=\dfrac{a}{2\varepsilon \varphi 2\omega } ενώ AD=\dfrac{a\varepsilon \varphi 2\omega }{2}

 AD=AI+ID \Leftrightarrow \dfrac{a\varepsilon \varphi 2\omega }{2} = \dfrac{a}{2\varepsilon \varphi 2\omega } + \dfrac{a\varepsilon \varphi \omega }{2} ή \varepsilon \varphi 2\omega =\varepsilon \varphi \omega +\dfrac{1}{\varepsilon \varphi 2\omega } ..(1) .
Θέτω \varepsilon \varphi \omega =x , τότε \varepsilon  \varphi 2 \omega = \dfrac{2x}{1-x^{2}} οπότε
 (1) \Leftrightarrow..x^{4}+4x^{2}-1=0 Αν y=x^{2}> 0 τότε y^{2}+4y-1=0 \Leftrightarrow y=\sqrt{5}-2=\dfrac{2-\Phi }{\Phi }

ενώ \varepsilon \varphi ^{2}\omega =x^{2}=y οπότε \dfrac{1-\sigma \upsilon \nu B}{1+\sigma \upsilon \nu B}= \varepsilon \varphi ^{2}\omega =y=\dfrac{2-\Phi }{\Phi } συνεπώς \sigma \upsilon \nu B=\Phi -1 =\dfrac{1}{\Phi } .

Τέλος \sigma \upsilon \nu B=\dfrac{a/2}{b} άρα \dfrac{b}{a}=\dfrac{\Phi }{2}.
Για την κατασκευή θεωρούμε αρχικά το ορθογώνιο τρίγωνο BEC με \widehat{EBC}=36^{0}
και παίρνουμε AB=AC=BE ..Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6455
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ημιπολύτιμος λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιούλ 14, 2018 1:35 pm

Ημιπολύτιμος λόγος_ok.png
Ημιπολύτιμος λόγος_ok.png (23.34 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
Έστω O το περίκεντρο του ABC τότε ( θεώρημα Euler) O{I^2} = {R^2} - 2Rr .

Αλλά AH = 2OD \Rightarrow IM = 2OD άρα το O είναι μέσο του ID και από το Π. Θ. στο

\vartriangle DOB έχω : {R^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} + {R^2} - 2Rr \Rightarrow \boxed{{a^2} = 8Rr} Η σχέση αυτή δίδει :

{a^2} = 2\dfrac{{a{b^2}}}{E} \cdot \dfrac{E}{s} \Leftrightarrow \boxed{a(a + 2b) = 4{b^2}}\,\,\,(1) όπου E = (ABC)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,2s = a + b + b = a + 2b

Η (1) για b = ax δίδει 4{x^2} - 2x - 1 = 0 \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{4} = \dfrac{\varphi }{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης