Εμβαδών πρόοδος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 813
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Εμβαδών πρόοδος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 10, 2018 10:21 am

Χαιρετώ.
Εμβαδών πρόοδος.PNG
Εμβαδών πρόοδος.PNG (5.82 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με BC=3AB όπου M το μέσον της AC και E το μέσον του AM.

Έστω P το σημείο της BE ώστε AP=AE και D η τομή των  CB, MP.

Να εξεταστεί αν τα εμβαδά \left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right ) είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής προόδου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5785
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδών πρόοδος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιούλ 10, 2018 1:10 pm

Εμβαδών πρόοδος.png
Εμβαδών πρόοδος.png (26.25 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές

«Κλειδί»

KM \bot ML

Μετά με Θ. Μενελάου βρίσκω DB = BK. Σχετικά απλά μετά :

\left\{ \begin{gathered} 
  (BAP) = \frac{1}{3}(ABE) \hfill \\ 
  (PAM) = \frac{4}{3}(ABE) \hfill \\ 
  (DAC) = \frac{{16}}{3}(ABE) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Μετά το φαγητό οι λεπτομέρειες


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1372
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εμβαδών πρόοδος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιούλ 10, 2018 1:52 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Ιούλ 10, 2018 10:21 am
Χαιρετώ.
Εμβαδών πρόοδος.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με BC=3AB όπου M το μέσον της AC και E το μέσον του AM.

Έστω P το σημείο της BE ώστε AP=AE και D η τομή των  CB, MP.

Να εξεταστεί αν τα εμβαδά \left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right ) είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής προόδου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Είναι \displaystyle \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{EA}} = 3 \Rightarrow BE διχοτόμος του \displaystyle \vartriangle ABC

Ακόμη , \displaystyle \angle AEB = \angle C + {B_1} και \displaystyle \angle APE = \angle {A_1} + {B_2} .Άρα , \displaystyle \angle {A_1} + {B_2}=\displaystyle \angle {B_1} + C\displaystyle  \Rightarrow \angle {A_1} = \angle C

Έτσι, \displaystyle \vartriangle ABP \simeq \vartriangle EBC \Rightarrow \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{BE}}{{BP}} \Rightarrow \frac{{BE}}{{BP}} = 3 \Rightarrow \boxed{\frac{{EP}}{{PB}} = 2}

Άρα \displaystyle \frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = \frac{{2\left( {APE} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = 2\frac{{EP}}{{PB}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = 4}

Ο Μενέλαος στο \displaystyle \vartriangle EBC με διατέμνουσα \displaystyle MPD μας δίνει

\displaystyle \frac{{CM}}{{ME}} \cdot \frac{{EP}}{{PB}} \cdot \frac{{DB}}{{DC}} = 1 \Rightarrow 2 \cdot 2 \cdot \frac{{DB}}{{DC}} = 1 \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{1}{4} = \frac{{AE}}{{AC}}

Άρα \displaystyle EB//AD με \displaystyle P μέσον της \displaystyle DM και \displaystyle \frac{{2\left( {DAM} \right)}}{{2\left( {PEM} \right)}} = \frac{{\left( {DAC} \right)}}{{\left( {PAM} \right)}} \Rightarrow \frac{{2 \cdot 4\left( {PEM} \right)}}{{2\left( {PEM} \right)}} = \boxed{\frac{{\left( {DAC} \right)}}{{\left( {PAM} \right)}} = 4}

Επομένως, \displaystyle \frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = \frac{{\left( {DAC} \right)}}{{\left( {PAM} \right)}} \Leftrightarrow \boxed{{{\left( {APM} \right)}^2} = \left( {ABP} \right) \cdot \left( {DAC} \right)}
e.p.png
e.p.png (11.94 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6754
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδών πρόοδος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 10, 2018 6:59 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Ιούλ 10, 2018 10:21 am
Χαιρετώ.
Εμβαδών πρόοδος.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με BC=3AB όπου M το μέσον της AC και E το μέσον του AM.

Έστω P το σημείο της BE ώστε AP=AE και D η τομή των  CB, MP.

Να εξεταστεί αν τα εμβαδά \left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right ) είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής προόδου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Εμβαδών πρόοδος.png
Εμβαδών πρόοδος.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 67 φορές
Έστω H το μέσο του PE και N το σημείο τομής των AH, BC. Από αντίστροφο του θεωρήματος διχοτόμου εύκολα

διαπιστώνουμε ότι η BE είναι διχοτόμος του τριγώνου ABC και από το ισοσκελές APE, η AH είναι μεσοκάθετη του

PE, άρα AB=BN=c και N μέσο της BC, οπότε BE||NM||AD. Εύκολα τώρα, P μέσο της DM και

PE=NM=2BP, δηλαδή BP=PH=HE. Επομένως: \boxed{ (PAM) = 2(PAE) = 4(PAH) = 4(BAP)}

Αλλά, τα τρίγωνα BAP, DAC έχουν πλευρές ανάλογες με λόγο 1:4, άρα \boxed{(DAC)=16(BAP)} και το ζητούμενο ισχύει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης