Εμβαδών πρόοδος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 865
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Εμβαδών πρόοδος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 10, 2018 10:21 am

Χαιρετώ.
Εμβαδών πρόοδος.PNG
Εμβαδών πρόοδος.PNG (5.82 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με BC=3AB όπου M το μέσον της AC και E το μέσον του AM.

Έστω P το σημείο της BE ώστε AP=AE και D η τομή των  CB, MP.

Να εξεταστεί αν τα εμβαδά \left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right ) είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής προόδου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5957
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδών πρόοδος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιούλ 10, 2018 1:10 pm

Εμβαδών πρόοδος.png
Εμβαδών πρόοδος.png (26.25 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές

«Κλειδί»

KM \bot ML

Μετά με Θ. Μενελάου βρίσκω DB = BK. Σχετικά απλά μετά :

\left\{ \begin{gathered} 
  (BAP) = \frac{1}{3}(ABE) \hfill \\ 
  (PAM) = \frac{4}{3}(ABE) \hfill \\ 
  (DAC) = \frac{{16}}{3}(ABE) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Μετά το φαγητό οι λεπτομέρειες


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1464
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εμβαδών πρόοδος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιούλ 10, 2018 1:52 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Ιούλ 10, 2018 10:21 am
Χαιρετώ.
Εμβαδών πρόοδος.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με BC=3AB όπου M το μέσον της AC και E το μέσον του AM.

Έστω P το σημείο της BE ώστε AP=AE και D η τομή των  CB, MP.

Να εξεταστεί αν τα εμβαδά \left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right ) είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής προόδου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Είναι \displaystyle \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{EA}} = 3 \Rightarrow BE διχοτόμος του \displaystyle \vartriangle ABC

Ακόμη , \displaystyle \angle AEB = \angle C + {B_1} και \displaystyle \angle APE = \angle {A_1} + {B_2} .Άρα , \displaystyle \angle {A_1} + {B_2}=\displaystyle \angle {B_1} + C\displaystyle  \Rightarrow \angle {A_1} = \angle C

Έτσι, \displaystyle \vartriangle ABP \simeq \vartriangle EBC \Rightarrow \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{BE}}{{BP}} \Rightarrow \frac{{BE}}{{BP}} = 3 \Rightarrow \boxed{\frac{{EP}}{{PB}} = 2}

Άρα \displaystyle \frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = \frac{{2\left( {APE} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = 2\frac{{EP}}{{PB}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = 4}

Ο Μενέλαος στο \displaystyle \vartriangle EBC με διατέμνουσα \displaystyle MPD μας δίνει

\displaystyle \frac{{CM}}{{ME}} \cdot \frac{{EP}}{{PB}} \cdot \frac{{DB}}{{DC}} = 1 \Rightarrow 2 \cdot 2 \cdot \frac{{DB}}{{DC}} = 1 \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{1}{4} = \frac{{AE}}{{AC}}

Άρα \displaystyle EB//AD με \displaystyle P μέσον της \displaystyle DM και \displaystyle \frac{{2\left( {DAM} \right)}}{{2\left( {PEM} \right)}} = \frac{{\left( {DAC} \right)}}{{\left( {PAM} \right)}} \Rightarrow \frac{{2 \cdot 4\left( {PEM} \right)}}{{2\left( {PEM} \right)}} = \boxed{\frac{{\left( {DAC} \right)}}{{\left( {PAM} \right)}} = 4}

Επομένως, \displaystyle \frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = \frac{{\left( {DAC} \right)}}{{\left( {PAM} \right)}} \Leftrightarrow \boxed{{{\left( {APM} \right)}^2} = \left( {ABP} \right) \cdot \left( {DAC} \right)}
e.p.png
e.p.png (11.94 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδών πρόοδος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 10, 2018 6:59 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Ιούλ 10, 2018 10:21 am
Χαιρετώ.
Εμβαδών πρόοδος.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με BC=3AB όπου M το μέσον της AC και E το μέσον του AM.

Έστω P το σημείο της BE ώστε AP=AE και D η τομή των  CB, MP.

Να εξεταστεί αν τα εμβαδά \left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right ) είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής προόδου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Εμβαδών πρόοδος.png
Εμβαδών πρόοδος.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 182 φορές
Έστω H το μέσο του PE και N το σημείο τομής των AH, BC. Από αντίστροφο του θεωρήματος διχοτόμου εύκολα

διαπιστώνουμε ότι η BE είναι διχοτόμος του τριγώνου ABC και από το ισοσκελές APE, η AH είναι μεσοκάθετη του

PE, άρα AB=BN=c και N μέσο της BC, οπότε BE||NM||AD. Εύκολα τώρα, P μέσο της DM και

PE=NM=2BP, δηλαδή BP=PH=HE. Επομένως: \boxed{ (PAM) = 2(PAE) = 4(PAH) = 4(BAP)}

Αλλά, τα τρίγωνα BAP, DAC έχουν πλευρές ανάλογες με λόγο 1:4, άρα \boxed{(DAC)=16(BAP)} και το ζητούμενο ισχύει.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 865
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εμβαδών πρόοδος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 17, 2018 1:40 pm

Γεια σας και ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ σε όλο το :logo: !
Ευχαριστώ τους Νίκο, Μιχάλη , Γιώργο για την άμεση ανταπόκριση!
Αιτία του θέματος ήταν το παλαιό θέμα ΕΔΩ του αγαπητού Μπάμπη.
Στη συνέχεια μια παρόμοια προσέγγιση συνοπτικά
Εμβαδών πρόοδος Β.PNG
Εμβαδών πρόοδος Β.PNG (6.16 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές
Όπως έχει γραφεί η BE είναι διχοτόμος ενώ \widehat{BAP}=\widehat{C}.
Αν πάρουμε το D στην προέκταση της CB ώστε BD=AB και P' την τομή των BE,DM τότε και \widehat{BAP'}=\widehat{C} ( σύμφωνα μ΄εκείνο το θέμα ) άρα P'\equiv P

Αν N το μέσον του CD τότε BD=BA=BN ενώ AE=EM , εύκολα προκύπτουν BPE \parallel AD \parallel  MN
και  2EP=AD=2MN =4BP \Rightarrow EP=2BP

Τα τρίγωνα DAC, BAP είναι όμοια με λόγο \dfrac{DC}{AB}=4 άρα \left ( DAC \right )=16\left ( BAP \right ) ενώ \left ( PAM \right )=2\left ( EAP \right )=4\left ( BAP \right )..

Να είστε όλοι καλά , Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες