Εμβαδών πρόοδος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1789
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Εμβαδών πρόοδος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 10, 2018 10:21 am

Χαιρετώ.
Εμβαδών πρόοδος.PNG
Εμβαδών πρόοδος.PNG (5.82 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με BC=3AB όπου M το μέσον της AC και E το μέσον του AM.

Έστω P το σημείο της BE ώστε AP=AE και D η τομή των CB, MP.

Να εξεταστεί αν τα εμβαδά \left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right ) είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής προόδου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.


Λέξεις Κλειδιά:
Γεωμετρική-πρόοδος
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9850
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδών πρόοδος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιούλ 10, 2018 1:10 pm

Εμβαδών πρόοδος.png
Εμβαδών πρόοδος.png (26.25 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

«Κλειδί»

KM \bot ML

Μετά με Θ. Μενελάου βρίσκω DB = BK. Σχετικά απλά μετά :

\left\{ \begin{gathered} (BAP) = \frac{1}{3}(ABE) \hfill \\ (PAM) = \frac{4}{3}(ABE) \hfill \\ (DAC) = \frac{{16}}{3}(ABE) \hfill \\ \end{gathered} \right.


Μετά το φαγητό οι λεπτομέρειες


Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2770
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εμβαδών πρόοδος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιούλ 10, 2018 1:52 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 10, 2018 10:21 am
 Χαιρετώ.
Εμβαδών πρόοδος.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με BC=3AB όπου M το μέσον της AC και E το μέσον του AM.

Έστω P το σημείο της BE ώστε AP=AE και D η τομή των CB, MP.

Να εξεταστεί αν τα εμβαδά \left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right ) είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής προόδου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Είναι \displaystyle \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{EA}} = 3 \Rightarrow BE διχοτόμος του \displaystyle \vartriangle ABC

Ακόμη , \displaystyle \angle AEB = \angle C + {B_1} και \displaystyle \angle APE = \angle {A_1} + {B_2} .Άρα , \displaystyle \angle {A_1} + {B_2}=\displaystyle \angle {B_1} + C\displaystyle \Rightarrow \angle {A_1} = \angle C

Έτσι, \displaystyle \vartriangle ABP \simeq \vartriangle EBC \Rightarrow \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{BE}}{{BP}} \Rightarrow \frac{{BE}}{{BP}} = 3 \Rightarrow \boxed{\frac{{EP}}{{PB}} = 2}

Άρα \displaystyle \frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = \frac{{2\left( {APE} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = 2\frac{{EP}}{{PB}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = 4}

Ο Μενέλαος στο \displaystyle \vartriangle EBC με διατέμνουσα \displaystyle MPD μας δίνει

\displaystyle \frac{{CM}}{{ME}} \cdot \frac{{EP}}{{PB}} \cdot \frac{{DB}}{{DC}} = 1 \Rightarrow 2 \cdot 2 \cdot \frac{{DB}}{{DC}} = 1 \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{1}{4} = \frac{{AE}}{{AC}}

Άρα \displaystyle EB//AD με \displaystyle P μέσον της \displaystyle DM και \displaystyle \frac{{2\left( {DAM} \right)}}{{2\left( {PEM} \right)}} = \frac{{\left( {DAC} \right)}}{{\left( {PAM} \right)}} \Rightarrow \frac{{2 \cdot 4\left( {PEM} \right)}}{{2\left( {PEM} \right)}} = \boxed{\frac{{\left( {DAC} \right)}}{{\left( {PAM} \right)}} = 4}

Επομένως, \displaystyle \frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = \frac{{\left( {DAC} \right)}}{{\left( {PAM} \right)}} \Leftrightarrow \boxed{{{\left( {APM} \right)}^2} = \left( {ABP} \right) \cdot \left( {DAC} \right)}
e.p.png
e.p.png (11.94 KiB) Προβλήθηκε 686 φορές


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13276
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδών πρόοδος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 10, 2018 6:59 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 10, 2018 10:21 am
 Χαιρετώ.
Εμβαδών πρόοδος.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC με BC=3AB όπου M το μέσον της AC και E το μέσον του AM.

Έστω P το σημείο της BE ώστε AP=AE και D η τομή των CB, MP.

Να εξεταστεί αν τα εμβαδά \left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right ) είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής προόδου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Εμβαδών πρόοδος.png
Εμβαδών πρόοδος.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές
Έστω H το μέσο του PE και N το σημείο τομής των AH, BC. Από αντίστροφο του θεωρήματος διχοτόμου εύκολα

διαπιστώνουμε ότι η BE είναι διχοτόμος του τριγώνου ABC και από το ισοσκελές APE, η AH είναι μεσοκάθετη του

PE, άρα AB=BN=c και N μέσο της BC, οπότε BE||NM||AD. Εύκολα τώρα, P μέσο της DM και

PE=NM=2BP, δηλαδή BP=PH=HE. Επομένως: \boxed{ (PAM) = 2(PAE) = 4(PAH) = 4(BAP)}

Αλλά, τα τρίγωνα BAP, DAC έχουν πλευρές ανάλογες με λόγο 1:4, άρα \boxed{(DAC)=16(BAP)} και το ζητούμενο ισχύει.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1789
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εμβαδών πρόοδος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 17, 2018 1:40 pm

Γεια σας και ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ σε όλο το :logo: !
Ευχαριστώ τους Νίκο, Μιχάλη , Γιώργο για την άμεση ανταπόκριση!
Αιτία του θέματος ήταν το παλαιό θέμα ΕΔΩ του αγαπητού Μπάμπη.
Στη συνέχεια μια παρόμοια προσέγγιση συνοπτικά
Εμβαδών πρόοδος Β.PNG
Εμβαδών πρόοδος Β.PNG (6.16 KiB) Προβλήθηκε 573 φορές
Όπως έχει γραφεί η BE είναι διχοτόμος ενώ \widehat{BAP}=\widehat{C}.
Αν πάρουμε το D στην προέκταση της CB ώστε BD=AB και P' την τομή των BE,DM τότε και \widehat{BAP'}=\widehat{C} ( σύμφωνα μ΄εκείνο το θέμα ) άρα P'\equiv P

Αν N το μέσον του CD τότε BD=BA=BN ενώ AE=EM , εύκολα προκύπτουν BPE \parallel AD \parallel MN
και 2EP=AD=2MN =4BP \Rightarrow EP=2BP

Τα τρίγωνα DAC, BAP είναι όμοια με λόγο \dfrac{DC}{AB}=4 άρα \left ( DAC \right )=16\left ( BAP \right ) ενώ \left ( PAM \right )=2\left ( EAP \right )=4\left ( BAP \right )..

Να είστε όλοι καλά , Γιώργος.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες