Εμβαδών πρόοδος

Γιώργος Μήτσιος

Χαιρετώ.

: Εμβαδών πρόοδος.PNG (5.82 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές

Θεωρούμε το τρίγωνο ABC

με

όπου

το μέσον της

και

το μέσον του

.

Έστω

το σημείο της

ώστε

και

η τομή των CB, MP

.

Να εξεταστεί αν τα εμβαδά $\left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right )$ είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής προόδου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μιχάλης Τσουρακάκης

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 10, 2018 10:21 am
Χαιρετώ.
Εμβαδών πρόοδος.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο με όπου το μέσον της και το μέσον του .

Έστω το σημείο της ώστε και η τομή των .

Να εξεταστεί αν τα εμβαδά $\left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right )$ είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής προόδου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Είναι $\displaystyle \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{EA}} = 3 \Rightarrow BE$ διχοτόμος του $\displaystyle \vartriangle ABC$

Ακόμη , $\displaystyle \angle AEB = \angle C + {B_1}$ και $\displaystyle \angle APE = \angle {A_1} + {B_2}$ .Άρα , $\displaystyle \angle {A_1} + {B_2}$ = $\displaystyle \angle {B_1} + C$ $\displaystyle \Rightarrow \angle {A_1} = \angle C$

Έτσι, $\displaystyle \vartriangle ABP \simeq \vartriangle EBC \Rightarrow \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{BE}}{{BP}} \Rightarrow \frac{{BE}}{{BP}} = 3 \Rightarrow \boxed{\frac{{EP}}{{PB}} = 2}$

Άρα $\displaystyle \frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = \frac{{2\left( {APE} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = 2\frac{{EP}}{{PB}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = 4}$

Ο Μενέλαος στο $\displaystyle \vartriangle EBC$ με διατέμνουσα $\displaystyle MPD$ μας δίνει

$\displaystyle \frac{{CM}}{{ME}} \cdot \frac{{EP}}{{PB}} \cdot \frac{{DB}}{{DC}} = 1 \Rightarrow 2 \cdot 2 \cdot \frac{{DB}}{{DC}} = 1 \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{1}{4} = \frac{{AE}}{{AC}}$

Άρα $\displaystyle EB//AD$ με $\displaystyle P$ μέσον της $\displaystyle DM$ και $\displaystyle \frac{{2\left( {DAM} \right)}}{{2\left( {PEM} \right)}} = \frac{{\left( {DAC} \right)}}{{\left( {PAM} \right)}} \Rightarrow \frac{{2 \cdot 4\left( {PEM} \right)}}{{2\left( {PEM} \right)}} = \boxed{\frac{{\left( {DAC} \right)}}{{\left( {PAM} \right)}} = 4}$

Επομένως, $\displaystyle \frac{{\left( {APM} \right)}}{{\left( {ABP} \right)}} = \frac{{\left( {DAC} \right)}}{{\left( {PAM} \right)}} \Leftrightarrow \boxed{{{\left( {APM} \right)}^2} = \left( {ABP} \right) \cdot \left( {DAC} \right)}$

: e.p.png (11.94 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 10, 2018 10:21 am
Χαιρετώ.
Εμβαδών πρόοδος.PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο με όπου το μέσον της και το μέσον του .

Έστω το σημείο της ώστε και η τομή των .

Να εξεταστεί αν τα εμβαδά $\left ( BAP \right ), \left ( PAM \right ),\left ( DAC \right )$ είναι διαδοχικοί όροι Γεωμετρικής προόδου.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

: Εμβαδών πρόοδος.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές

Έστω

το μέσο του

και

το σημείο τομής των AH, BC.

Από αντίστροφο του θεωρήματος διχοτόμου εύκολα

διαπιστώνουμε ότι η

είναι διχοτόμος του τριγώνου ABC

και από το ισοσκελές APE

, η

είναι μεσοκάθετη του

, άρα

και

μέσο της

οπότε

Εύκολα τώρα,

μέσο της

και

δηλαδή

Επομένως: $\boxed{ (PAM) = 2(PAE) = 4(PAH) = 4(BAP)}$

Αλλά, τα τρίγωνα BAP, DAC

έχουν πλευρές ανάλογες με λόγο 1:4,

άρα $\boxed{(DAC)=16(BAP)}$ και το ζητούμενο ισχύει.

Γιώργος Μήτσιος

Γεια σας και ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ σε όλο το

!
Ευχαριστώ τους Νίκο, Μιχάλη , Γιώργο για την άμεση ανταπόκριση!
Αιτία του θέματος ήταν το παλαιό θέμα ΕΔΩ του αγαπητού Μπάμπη.
Στη συνέχεια μια παρόμοια προσέγγιση συνοπτικά

: Εμβαδών πρόοδος Β.PNG (6.16 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές

Όπως έχει γραφεί η

είναι διχοτόμος ενώ $\widehat{BAP}=\widehat{C}$ .
Αν πάρουμε το

στην προέκταση της

ώστε

και

την τομή των BE,DM

τότε και $\widehat{BAP'}=\widehat{C}$ ( σύμφωνα μ΄εκείνο το θέμα ) άρα $P'\equiv P$

Αν

το μέσον του

τότε

ενώ

, εύκολα προκύπτουν $BPE \parallel AD \parallel MN$
και $2EP=AD=2MN =4BP \Rightarrow EP=2BP$

Τα τρίγωνα DAC, BAP

είναι όμοια με λόγο $\dfrac{DC}{AB}=4$ άρα $\left ( DAC \right )=16\left ( BAP \right )$ ενώ $\left ( PAM \right )=2\left ( EAP \right )=4\left ( BAP \right )$ ..

Να είστε όλοι καλά , Γιώργος.

Εμβαδών πρόοδος

Εμβαδών πρόοδος

Re: Εμβαδών πρόοδος

Re: Εμβαδών πρόοδος

Re: Εμβαδών πρόοδος

Re: Εμβαδών πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση