Ένα ελάχιστο κι ένα μέγιστο

#1

: Ενα ελάχιστο κι ένα μέγιστο.png (10.55 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

Δίδεται σταθερός κύκλος κέντρου

και σταθερό σημείο

στο εσωτερικό του .

Μεταβλητό σημείο

κινείται πάνω στον κύκλο . Στο

φέρνω κάθετη επί την

και έστω

το ένα σημείο τομής της με τον κύκλο .

1. Να βρείτε το ελάχιστο του (ABC)

.

2. Αν

το μέσο της χορδής

, Να βρείτε το μέγιστο του (MOC)

#2

Καλησπέρα σε όλους. Ξεκινώ με μια προσπάθεια για το 1.

: 20-06-2018 Γεωμετρία 1.png (37.26 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

Έστω

το ύψος στην

. Τότε $\displaystyle CM = \frac{{AB}}{2}$ και $\displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{{CD \cdot AB}}{2} = CD \cdot CM$

Είναι $\displaystyle CM \ge CD \Leftrightarrow \left( {ABC} \right) \ge C{D^2}$ με το ελάχιστο όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές, δηλαδή όταν

κάθετη στην

.

edit: Συμπληρώνω και το 2.

: 20-06-2018 Γεωμετρία 2.png (41.34 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές

To

έχει σταθερή βάση

, οπότε θα έχει μέγιστο εμβαδό όταν το ύψος

από το

στην

γίνει μέγιστο.

Έστω

το μέσο του

. κατασκευάζουμε τον κύκλο (N, NM)

. Είναι $\displaystyle MN \ge MK$ με το ίσον όταν OM=OC

. Τότε, ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABC

διέρχεται από το

.

#3

Να συμπληρώσω απλώς για το 1) ερώτημα ότι αν

είναι η ακτίνα του κύκλου και OC=d,

τότε:

$\boxed{{(ABC)_{\min }} = \frac{{{R^2} - d\sqrt {2{R^2} - {d^2}} }}{2}}$

Ένα ελάχιστο κι ένα μέγιστο

Ένα ελάχιστο κι ένα μέγιστο

Re: Ένα ελάχιστο κι ένα μέγιστο

Re: Ένα ελάχιστο κι ένα μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση