Καθετότητα και μέσο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5864
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Καθετότητα και μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιουν 15, 2018 6:17 pm

[attachment=0]και ορθή και μέσο.png[/attachment]


Έστω κύκλος διαμέτρου AOB.

1. Να βρεθεί σημείο S του κύκλου τέτοιο ώστε αν γράψουμε τον κύκλο (A,AS) και η SO τον τέμνει ακόμα στο T να είναι: ST \bot BT.

2. Έστω Q το αντιδιαμετρικό του S στον κύκλο διαμέτρου AOB.

Αν M το μέσο του TB , φέρνουμε τις ευθείες MO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MS που τέμνουν τη ευθεία AQ στα E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z. Δείξετε ότι EQ = QZ.
Συνημμένα
και ορθή και μέσο.png
και ορθή και μέσο.png (16.48 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Ιουν 16, 2018 12:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6958
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητα και μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 16, 2018 8:56 am

Doloros έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 6:17 pm
και ορθή και μέσο.png


Έστω κύκλος διαμέτρου AOB.

1. Να βρεθεί σημείο S του κύκλου τέτοιο ώστε αν γράψουμε τον κύκλο (A,AS) και η SO τον τέμνει ακόμα στο T να είναι: ST \bot BT.
Για την κατασκευή.
Ορθή και μέσο.α.png
Ορθή και μέσο.α.png (21.06 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
Έστω AB=2r. Γράφω τον κύκλο \displaystyle \left( {O,\frac{r}{3}} \right) και φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα του BT. Η TO τέμνει τον κύκλο διαμέτρου AB

στο ζητούμενο σημείο S. Αρκεί να δείξω ότι AS=AT. Πράγματι, αν η TO τέμνει το μικρό κύκλο στο P τότε \displaystyle PS = PT = \frac{{2r}}{3}

κι επειδή το APST είναι παραλληλόγραμμο (οι διαγώνιοι διχοτομούνται), θα είναι \displaystyle AP \bot ST και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6958
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καθετότητα και μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 16, 2018 12:32 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Ιουν 15, 2018 6:17 pm
και ορθή και μέσο.png


Έστω κύκλος διαμέτρου AOB.

1. Να βρεθεί σημείο S του κύκλου τέτοιο ώστε αν γράψουμε τον κύκλο (A,AS) και η SO τον τέμνει ακόμα στο T να είναι: ST \bot BT.

2. Έστω Q το αντιδιαμετρικό του S στον κύκλο διαμέτρου AOB.

Αν M το μέσο του TB , φέρνουμε τις ευθείες MO\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MS που τέμνουν τη ευθεία AQ στα E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z. Δείξετε ότι EQ = QZ.
Για το β) ερώτημα.
Ορθή και μέσο.β.png
Ορθή και μέσο.β.png (25.65 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές
Φέρνω QH||EM κι επειδή M μέσο του BT και O μέσο του SQ θα είναι \displaystyle QH|| = 2OM|| = AT, άρα το ATHQ

είναι παραλληλόγραμμο και \boxed{TH=AQ} (1)

Αλλά, \displaystyle \frac{{TH}}{{QZ}} = \frac{{ST}}{{SQ}} = \frac{2}{3}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{AQ}}{{QZ}} = \frac{2}{3} = \frac{{QT}}{{QO}} = \frac{{AQ}}{{EQ}} \Leftrightarrow \boxed{EQ=QZ}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5864
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Καθετότητα και μέσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 17, 2018 11:59 am

Το σκεπτικό κατασκευής της άσκησης περιγράφεται, κυρίως , στο δεύτερο ερώτημα .

Τη στοιχειώδη, ωραία λύση σ αυτό από το Γιώργο , δεν την «είχα»
.


1. Έστω λυμένο το πρόβλημα . Αν P η προβολή του A στην διάμετρο SQ τα ορθογώνια τρίγωνα BOT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AOP έχουν τις υποτείνουσες ίσες και

τις γωνίες τους στο O ίσες ως κατακορυφήν , άρα είναι ίσα οπότε \displaystyle \boxed{OT = OP}\,\,\,\,(1)

Στο ισοσκελές τρίγωνο AST το ύψος AP θα είναι και διάμεσος με άμεση

συνέπεια :SP = PT = 2OP και : \boxed{\frac{{PO}}{{PS}} = \frac{{QO}}{{QS}} = \frac{1}{2}}\,\,\,(2). Συνεπώς για μεν τη

κατασκευή του T ( όπως ο Γιώργος ) αρκεί να φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

BT στον κύκλο (O,\dfrac{{OS}}{3}) .
και ορθή και μέσο_λύση.png
και ορθή και μέσο_λύση.png (18.98 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές
2. Από τη (2) έχουμε ότι η τετράδα (S,O\backslash P,Q) είναι αρμονική συνεπώς και η δέσμη M(S,O,P,Q) είναι αρμονική .

PM//AB//AQ , δηλαδή η ευθεία AQ είναι παράλληλη στην ακτίνα MP της

δέσμης και καθώς τέμνει τις άλλες ακτίνες σε τρία σημεία το ένα απ’ αυτά θα είναι

μέσο των δύο άλλων . Επειδή δε η συζυγής της ακτίνας PM είναι η MQ, το Q θα

είναι το μέσο του EZ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης