Άλλος λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9748
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Άλλος λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιουν 11, 2018 9:14 pm

Άλλος  λόγος.png
Άλλος λόγος.png (20.58 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
Δύο κύκλοι (O,r) και (K,R) , με OK=d , τέμνονται στα σημεία A,B .

Σημείο S κινείται στον (K) "ανατολικότερα" της κοινής χορδής , ώστε η SB

να τέμνει τον (O) σε σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{SA}{ST} παραμένει σταθερός .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10228
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άλλος λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιουν 11, 2018 11:48 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιουν 11, 2018 9:14 pm
Δύο κύκλοι (O,r) και (K,R) , με OK=d , τέμνονται στα σημεία A,B .

Σημείο S κινείται στον (K) "ανατολικότερα" της κοινής χορδής , ώστε η SB

να τέμνει τον (O) σε σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{SA}{ST} παραμένει σταθερός .
Από τον Νόμο των ημιτόνων

\dfrac{SA}{ST} = \dfrac {\sin (\angle STA )}{\sin (\angle SAT )}

Όμως οι γωνίες  \angle STA , \, \angle SAT είναι σταθερές καθώς

\angle STA = 180- \angle ATB και η τελευταία βαίνει στο σταθερό (μείζον) τόξο AB του μικρού κύκλου.

Επίσης με χρήση της \angle AST = σταθερό (βαίνει στο (μικρό) τόξο AB του μεγάλου κύκλου) είναι  \angle SAT = \angle ATB-\angle AST ίσον διαφορά σταθερών.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5832
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Άλλος λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 12, 2018 12:16 am

Αν η SA στην προέκτασή της προς το A τέμνει τον (O,r) στο D θα είναι :

\vartriangle AOK \approx \vartriangle BDS αφού \widehat S = \widehat K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat D = \widehat O , έτσι θα έχουμε ταυτόχρονα:
Αλλος λόγος_νέος_Karkar.png
Αλλος λόγος_νέος_Karkar.png (22.93 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές

\left\{ \begin{gathered} 
  SA \cdot SD = ST \cdot SB \hfill \\ 
  \frac{{SB}}{{SD}} = \frac{{AK}}{{OK}} = \frac{R}{d} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{SA}}{{ST}} = \frac{R}{d}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1391
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Άλλος λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιουν 12, 2018 12:34 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιουν 11, 2018 9:14 pm
Άλλος λόγος.png Δύο κύκλοι (O,r) και (K,R) , με OK=d , τέμνονται στα σημεία A,B .

Σημείο S κινείται στον (K) "ανατολικότερα" της κοινής χορδής , ώστε η SB

να τέμνει τον (O) σε σημείο T . Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{SA}{ST} παραμένει σταθερός .

Λόγω συμμετρίας των \displaystyle A,B ως προς την \displaystyle OK και σχέσης επίκεντρης –εγγεγραμμένης , οι μπλε γωνίες είναι ίσες όπως και οι πράσινες

Έτσι , \displaystyle \vartriangle AOK \simeq \vartriangle SAT \Rightarrow \boxed{\frac{{SA}}{{ST}} = \frac{{AK}}{{OK}} = \frac{R}{d}}
a.l.png
a.l.png (26.22 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες