Τμήμα στη IG

#1

: Τμήμα στη IG.png (33.37 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές

Σε τρίγωνο ABC

με $AC = 5\,\,,\,\,CB = 6\,\,,\,\,BA = 7$ ο εγγεγραμμένος του κύκλος έχει

κέντρο το

και εφάπτεται των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ στα $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ αντίστοιχα.

Έστω ακόμα

το βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Οι $AG\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZE$ τέμνονται στο

, ενώ

Η ευθεία

τέμνει την

στο

. Δείξετε ότι TG = 1

.

Ορέστης Λιγνός · #2

Γεια σου Νίκο!

Έστω ότι ο κύκλος (C,CA)

τέμνει την

στο

.

Τότε, $CL=CA=5 \Rightarrow BL=BC-LC=6-5=1$ .

Έστω $M \equiv AG \cap BC, N \equiv AI \cap BC$ .

Από Θ. Διχοτόμων, εύκολα βρίσκουμε ότι $BN=\dfrac{7}{2}$ .

Η

διχοτομεί την $\widehat{ABN}$ , άρα από Θ. Διχοτόμων, $\dfrac{AI}{IN}=\dfrac{BA}{BN}=2 \Rightarrow AI=2IN$ .

Επίσης, από την γνωστή ιδιότητα του βαρυκέντρου AG=2GM

.

Άρα, $\dfrac{AI}{IN}=\dfrac{AG}{GM}=2 \Rightarrow GI \parallel MN \Rightarrow TG \parallel BC$ .

Έστω $F \equiv ZE \cap BC$ .

Εύκολα, υπολογίζονται τα τμήματα AZ,ZB,AE,EC

(φαίνονται στο σχήμα).

Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με διατέμνουσα την $\overline{ZEF}$ , προκύπτει FC=6

.

Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle ABM$ με διατέμνουσα την $\overline{ZPF}$ , προκύπτει AP=PM

.

Θέτουμε AM=6y

, άρα $AG=2GM \Rightarrow AG=4y, GM=2y$ , και AP=3y

. Έτσι,

.

Άρα,

.

Είναι $BM=\dfrac{BC}{2}=3 \Rightarrow LM=BM-BL=2 \Rightarrow LM=2BL$ .

Έτσι, $\dfrac{LM}{BL}=\dfrac{MG}{GP}=2 \Rightarrow LG \parallel BP \Rightarrow LG \parallel BT$ .

Αφού όμως ισχύει επίσης $TG \parallel BL$ , το BTGL

είναι παραλληλόγραμμο, έτσι $TG=BL=1 \Rightarrow \boxed{TG=1}$ .

: NIKOS.png (24.87 KiB) Προβλήθηκε 551 φορές

nikkru · #3

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 09, 2018 10:55 pm
Τμήμα στη IG.png

Σε τρίγωνο με $AC = 5\,\,,\,\,CB = 6\,\,,\,\,BA = 7$ ο εγγεγραμμένος του κύκλος έχει

κέντρο το και εφάπτεται των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ στα $Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ αντίστοιχα.

Έστω ακόμα το βαρύκεντρο του $\vartriangle ABC$ . Οι $AG\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZE$ τέμνονται στο , ενώ

Η ευθεία τέμνει την στο . Δείξετε ότι .

: Τμήμα στην IG.png (24.48 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Από το Θ.διχοτόμων στο τρίγωνο ABC

είναι: $CN=\frac{CB \cdot CA}{AB+CA}=\frac{30}{12}=\frac{5}{2}$ και στο τρίγωνο ACN

: $\frac{AI}{IN}=\frac{CA}{CN}=\frac{2}{1}$ .

Το G βαρύκεντρο, άρα $\frac{AG}{GE}=\frac{2}{1}=\frac{AI}{IN}$ οπότε IG//NE

. Ακόμη $CH+HB+AZ=\tau=9$ άρα AZ=3

.

Φέρνουμε EK//EZ

, έτσι $2KB=AB-AC \Rightarrow KB=1$ με συνέπεια το

μέσο του

και το

μέσο του

.

Τότε όμως, $\frac{PG}{PE}=\frac{GT}{EB}\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{GT}{3}\Rightarrow GT=1$ .

Τμήμα στη IG

Τμήμα στη IG

Re: Τμήμα στη IG

Re: Τμήμα στη IG

Μέλη σε σύνδεση