Τμήμα στη IG

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7924
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Τμήμα στη IG

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιουν 09, 2018 10:55 pm

Τμήμα στη IG.png
Τμήμα στη IG.png (33.37 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές
Σε τρίγωνο ABC με AC = 5\,\,,\,\,CB = 6\,\,,\,\,BA = 7 ο εγγεγραμμένος του κύκλος έχει

κέντρο το I και εφάπτεται των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC στα Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E αντίστοιχα.

Έστω ακόμα G το βαρύκεντρο του \vartriangle ABC. Οι AG\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZE τέμνονται στο P , ενώ

Η ευθεία IG τέμνει την BP στο T. Δείξετε ότι TG = 1.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1655
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τμήμα στη IG

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιουν 10, 2018 1:10 am

Γεια σου Νίκο!

Έστω ότι ο κύκλος (C,CA) τέμνει την BC στο L.

Τότε, CL=CA=5 \Rightarrow BL=BC-LC=6-5=1.

Έστω M \equiv AG \cap BC, N \equiv AI \cap BC.

Από Θ. Διχοτόμων, εύκολα βρίσκουμε ότι BN=\dfrac{7}{2}.

Η BI διχοτομεί την \widehat{ABN}, άρα από Θ. Διχοτόμων, \dfrac{AI}{IN}=\dfrac{BA}{BN}=2 \Rightarrow AI=2IN.

Επίσης, από την γνωστή ιδιότητα του βαρυκέντρου AG=2GM.

Άρα, \dfrac{AI}{IN}=\dfrac{AG}{GM}=2 \Rightarrow GI \parallel MN \Rightarrow TG \parallel BC.

Έστω F \equiv ZE \cap BC.

Εύκολα, υπολογίζονται τα τμήματα AZ,ZB,AE,EC (φαίνονται στο σχήμα).

Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle ABC με διατέμνουσα την \overline{ZEF}, προκύπτει FC=6.

Από Θ. Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle ABM με διατέμνουσα την \overline{ZPF}, προκύπτει AP=PM.

Θέτουμε AM=6y, άρα AG=2GM \Rightarrow AG=4y, GM=2y, και AP=3y. Έτσι, PG=y.

Άρα, MG=2GP.

Είναι BM=\dfrac{BC}{2}=3 \Rightarrow LM=BM-BL=2 \Rightarrow LM=2BL.

Έτσι, \dfrac{LM}{BL}=\dfrac{MG}{GP}=2 \Rightarrow LG \parallel BP \Rightarrow LG \parallel BT.

Αφού όμως ισχύει επίσης TG \parallel BL, το BTGL είναι παραλληλόγραμμο, έτσι TG=BL=1 \Rightarrow \boxed{TG=1}.
NIKOS.png
NIKOS.png (24.87 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
nikkru
Δημοσιεύσεις: 340
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Τμήμα στη IG

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Κυρ Ιουν 10, 2018 8:55 am

Doloros έγραψε:
Σάβ Ιουν 09, 2018 10:55 pm
Τμήμα στη IG.png

Σε τρίγωνο ABC με AC = 5\,\,,\,\,CB = 6\,\,,\,\,BA = 7 ο εγγεγραμμένος του κύκλος έχει

κέντρο το I και εφάπτεται των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC στα Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E αντίστοιχα.

Έστω ακόμα G το βαρύκεντρο του \vartriangle ABC. Οι AG\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ZE τέμνονται στο P , ενώ

Η ευθεία IG τέμνει την BP στο T. Δείξετε ότι TG = 1.
Τμήμα στην IG.png
Τμήμα στην IG.png (24.48 KiB) Προβλήθηκε 288 φορές
Από το Θ.διχοτόμων στο τρίγωνο ABC είναι: CN=\frac{CB \cdot CA}{AB+CA}=\frac{30}{12}=\frac{5}{2} και στο τρίγωνο ACN: \frac{AI}{IN}=\frac{CA}{CN}=\frac{2}{1}.

Το G βαρύκεντρο, άρα \frac{AG}{GE}=\frac{2}{1}=\frac{AI}{IN} οπότε IG//NE. Ακόμη CH+HB+AZ=\tau=9 άρα AZ=3.

Φέρνουμε EK//EZ, έτσι 2KB=AB-AC \Rightarrow KB=1 με συνέπεια το Z μέσο του AK και το P μέσο του AE.

Τότε όμως, \frac{PG}{PE}=\frac{GT}{EB}\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{GT}{3}\Rightarrow GT=1.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης