Διπλή ελαχιστοποίηση

KARKAR · #1

: Διπλή ελαχιστοποίηση.png (8.41 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Σημείο

το οποίο κινείται επί της ευθείας με εξίσωση : $y=\dfrac{1}{2}x+2$

συνδέεται με τα σημεία O(0,0)

και

.

Α) Για ποια θέση του

ελαχιστοποιείται το SO+SA

;

Β) Για ποια θέση του

ελαχιστοποιείται το SO^2+SA^2

;

Το θέμα θεωρείται "πολυπαιγμένο" , αλλά έχει πάντα ενδιαφέρον ...

#2

Όντως κλασικό!

α) Θεωρούμε το συμμετρικό $\displaystyle{A'}$ του $\displaystyle{A}$ ως προς την ευθεία, οπότε

$\displaystyle{SO+SA=SO+SA'\geq OA'}$ και η ισότητα πιάνεται μόνο όταν τα σημεία $\displaystyle{O,S,A'}$ είναι συνευθειακά.

Με τις γνωστές μεθόδους βρίσκουμε ότι $\displaystyle{A'=\left(\frac{16}{5},\frac{48}{5}\right),}$ $\displaystyle{\ell_{OA'}:y=3x,}$

οπότε $\displaystyle{S=\left(\frac{4}{5},\frac{12}{5}\right).}$

b) Αν $\displaystyle{S(x,y)}$ είναι

$\displaystyle{SO^2+SA^2=x^2+y^2+(x-8)^2+y^2=\cdots =\frac{5}{2}x^2-12x+72}$

το οποίο κατά τα γνωστά πιάνει το ελάχιστο όταν $\displaystyle{x=\frac{12}{5},}$ οπότε τότε $\displaystyle{y=\frac{16}{5}.}$

#3

α) βρίσκω το συμμετρικό του

ως προς την ευθεία με εξίσωση :

$y = \dfrac{1}{2}x + 2 \Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0$ . Η κάθετη σ αυτή από το

έχει εξίσωση : y = - 2x

. Το σημείο τομής των δύο αυτών ευθειών είναι : $T:\,\,\left\{ \begin{gathered} x - 2y + 4 = 0 \hfill \\ y = - 2x \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow T\left( { - \dfrac{4}{5},\dfrac{8}{5}} \right)$ και

άρα το συμμετρικό

του

ως προς την δεδομένη ευθεία είναι: $D\left( { - \dfrac{8}{5},\dfrac{{16}}{5}} \right)$ .

Ο συντελεστής διεύθυνσης του $\overrightarrow {AD} = \left( { - \dfrac{{48}}{5},\dfrac{{16}}{5}} \right)$ είναι $k = - \dfrac{1}{3}$ και η

έχει

εξίσωση , $y = - \dfrac{1}{3}(x - 8) \Leftrightarrow x + 3y - 8 = 0$ . συνεπώς το $S:\left\{ \begin{gathered} x - 2y + 4 = 0 \hfill \\ x + 3y - 8 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{S\left( {\dfrac{4}{5},\dfrac{{12}}{5}} \right)}$

: Διπλή ελαχιστοποίοιση.png (32.77 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές

β) Έστω

το μέσο του

δηλ.

Από το Θ. διαμέσων στο $\vartriangle SOA$ έχω :

$S{O^2} + S{A^2} = 2S{M^2} + \dfrac{{O{A^2}}}{2} = 2S{M^2} + 32$ αρκεί να γίνει ελάχιστο το

που προφανώς θα συμβεί αν το

είναι η προβολή του

στη δοθείσα ευθεία ,

x - 2y + 4 = 0

. Επειδή τώρα SM//OD

θα έχει εξίσωση ,

$y = - 2(x - 4) \Rightarrow y = - 2x + 8$ δηλαδή σ αυτή τη περίπτωση :

$S:\,\left\{ \begin{gathered} x - 2y + 4 = 0 \hfill \\ y = - 2x + 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{S\left( {\dfrac{{12}}{5},\dfrac{{16}}{5}} \right)}$

Διπλή ελαχιστοποίηση

Διπλή ελαχιστοποίηση

Re: Διπλή ελαχιστοποίηση

Re: Διπλή ελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση