Ένα μέσο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5834
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Ένα μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 26, 2018 9:42 pm

Ενα μέσο.png
Ενα μέσο.png (16.1 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές

Έστω τρίγωνο ABC. Ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται των πλευρών του

BC\,\,,\,\,CA\,\,,\,\,AB στα σημεία D\,\,,\,\,E\,\,,\,\,Z αντίστοιχα .

Η εφαπτομένη του πιο πάνω κύκλου που είναι παράλληλη στην AB, τέμνεται από

τις ZD\,\,,\,\,ZE\,\,,\,\,ZC στα σημεία K\,\,,\,\,L\,\,,\,\,M αντίστοιχα .

Δείξετε ότι το M είναι μέσο του KL.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3788
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ένα μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μάιος 27, 2018 1:56 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Μάιος 26, 2018 9:42 pm
Ενα μέσο.png


Έστω τρίγωνο ABC. Ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται των πλευρών του

BC\,\,,\,\,CA\,\,,\,\,AB στα σημεία D\,\,,\,\,E\,\,,\,\,Z αντίστοιχα .

Η εφαπτομένη του πιο πάνω κύκλου που είναι παράλληλη στην AB, τέμνεται από

τις ZD\,\,,\,\,ZE\,\,,\,\,ZC στα σημεία K\,\,,\,\,L\,\,,\,\,M αντίστοιχα .

Δείξετε ότι το M είναι μέσο του KL.
Ένας Μενέλαος στο ABC με διατεμνουσα DZF οδηγεί στην αρμονικότητα της δέσμης Z.AECD και το ζητούμενο επεται ( δεν ειναι ανάγκη η παράλληλη να ειναι εφαπτόμενη)


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1296
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ένα μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Μάιος 29, 2018 11:07 pm

Επαναφορά!


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1654
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ένα μέσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Ιουν 01, 2018 8:33 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Μάιος 26, 2018 9:42 pm
Ενα μέσο.png


Έστω τρίγωνο ABC. Ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται των πλευρών του

BC\,\,,\,\,CA\,\,,\,\,AB στα σημεία D\,\,,\,\,E\,\,,\,\,Z αντίστοιχα .

Η εφαπτομένη του πιο πάνω κύκλου που είναι παράλληλη στην AB, τέμνεται από

τις ZD\,\,,\,\,ZE\,\,,\,\,ZC στα σημεία K\,\,,\,\,L\,\,,\,\,M αντίστοιχα .

Δείξετε ότι το P είναι μέσο του KL.
Για τις γωνίες ισχύουν \hat{AZE}=\hat{\phi }=\hat{AEZ}=\hat{LEP}=\hat{ELP} άρα EP=PL
και PE=PN,EP=PL=PN=x,NE\perp ZL
Είναι ZIN\perp LK,LK//AB Ακόμη DJ=JN=t,\hat{BZD}=\hat{\sigma }=\hat{BDZ}=\hat{KDJ}=\hat{DKJ}
Αρα DJ=JK,DJ=JK=JN=t,ND\perp ZK
Απο την ομοιότητα των τριγώνων BZD,DJK,\dfrac{t}{\tau -b}=\dfrac{DK}{ZD},
και απο το ορθογώνιο τρίγωνο ZNK,\dfrac{t^{2}}{\rho ^{2}}=\dfrac{DK}{ZD}
Αρα t=\dfrac{\rho ^{2}}{\tau -b},(1)
Ομοιως από τα όμοια τρίγωνα AZE,EPL
και από το ορθογώνιο τρίγωνο ZNL,x=\dfrac{\rho ^{2}}{\tau -a},(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{x}{t}=\dfrac{\tau -b}{\tau -a},(*)
Από τα όμοια τρίγωνα MPC,CZA,\dfrac{MP}{\tau -a}=\dfrac{CM}{CZ}=\dfrac{MJ}{\tau -b}\Leftrightarrow \dfrac{x-NM}{\tau -a}=\dfrac{t+NM}{\tau -b} και λόγω της σχέσης (*)x^{2}-xNM=t^{2}+tNM\Leftrightarrow MP=t
Αρα MK=2t+NM=2t+x-t=x+t=ML




Γιάννης






Καλησπέρα
Συνημμένα
Ενα μέσο.png
Ενα μέσο.png (112.51 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5834
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ένα μέσο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιουν 06, 2018 12:31 pm

Ένα μέσα_1.png
Ένα μέσα_1.png (25.53 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές

Αν η EZ κόψει τη BC στο T από το Θ. Μενελάου στο \vartriangle ABC με διατέμνουσα τη \overline {EZT} έχω:

\dfrac{{AZ}}{{ZB}} \cdot \dfrac{{BT}}{{TC}} \cdot \dfrac{{CE}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{AZ}}{{DB}} \cdot \dfrac{{TB}}{{TC}} \cdot \dfrac{{DC}}{{AZ}} = 1 \Rightarrow \boxed{\dfrac{{TB}}{{TC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}}.

( γιατί BZ = BD\,\,,\,\,AE = AZ)

Δηλαδή η η τετράδα (T,D\backslash B,C) είναι αρμονική , συνεπώς και η δέσμη Z(T,D,B,C) είναι αρμονική.

Κάθε παράλληλη προς την ZB θα τέμνει τις ZT,ZB,ZC σε τρία σημεία ένα από τα οποία θα είναι μέσο του τμήματος των άλλων δύο .

Αφού η συζυγής της ZB\,\, είναι η ZC το M θα είναι μέσο του KL.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης