Ένα μέσο

#1

: Ενα μέσο.png (16.1 KiB) Προβλήθηκε 1008 φορές

Έστω τρίγωνο ABC

. Ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται των πλευρών του

$BC\,\,,\,\,CA\,\,,\,\,AB$ στα σημεία $D\,\,,\,\,E\,\,,\,\,Z$ αντίστοιχα .

Η εφαπτομένη του πιο πάνω κύκλου που είναι παράλληλη στην

, τέμνεται από

τις $ZD\,\,,\,\,ZE\,\,,\,\,ZC$ στα σημεία $K\,\,,\,\,L\,\,,\,\,M$ αντίστοιχα .

Δείξετε ότι το

είναι μέσο του

.

#2

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 26, 2018 9:42 pm
Ενα μέσο.png

Έστω τρίγωνο . Ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται των πλευρών του

$BC\,\,,\,\,CA\,\,,\,\,AB$ στα σημεία $D\,\,,\,\,E\,\,,\,\,Z$ αντίστοιχα .

Η εφαπτομένη του πιο πάνω κύκλου που είναι παράλληλη στην , τέμνεται από

τις $ZD\,\,,\,\,ZE\,\,,\,\,ZC$ στα σημεία $K\,\,,\,\,L\,\,,\,\,M$ αντίστοιχα .

Δείξετε ότι το είναι μέσο του .

Ένας Μενέλαος στο ABC

με διατεμνουσα DZF

οδηγεί στην αρμονικότητα της δέσμης Z.AECD

και το ζητούμενο επεται ( δεν ειναι ανάγκη η παράλληλη να ειναι εφαπτόμενη)

Ορέστης Λιγνός · #3

Επαναφορά!

STOPJOHN · #4

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 26, 2018 9:42 pm
Ενα μέσο.png

Έστω τρίγωνο . Ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται των πλευρών του

$BC\,\,,\,\,CA\,\,,\,\,AB$ στα σημεία $D\,\,,\,\,E\,\,,\,\,Z$ αντίστοιχα .

Η εφαπτομένη του πιο πάνω κύκλου που είναι παράλληλη στην , τέμνεται από

τις $ZD\,\,,\,\,ZE\,\,,\,\,ZC$ στα σημεία $K\,\,,\,\,L\,\,,\,\,M$ αντίστοιχα .

Δείξετε ότι το είναι μέσο του .

Για τις γωνίες ισχύουν $\hat{AZE}=\hat{\phi }=\hat{AEZ}=\hat{LEP}=\hat{ELP}$ άρα EP=PL

και $PE=PN,EP=PL=PN=x,NE\perp ZL$
Είναι $ZIN\perp LK,LK//AB$ Ακόμη $DJ=JN=t,\hat{BZD}=\hat{\sigma }=\hat{BDZ}=\hat{KDJ}=\hat{DKJ}$
Αρα $DJ=JK,DJ=JK=JN=t,ND\perp ZK$
Απο την ομοιότητα των τριγώνων $BZD,DJK,\dfrac{t}{\tau -b}=\dfrac{DK}{ZD},$
και απο το ορθογώνιο τρίγωνο $ZNK,\dfrac{t^{2}}{\rho ^{2}}=\dfrac{DK}{ZD}$
Αρα $t=\dfrac{\rho ^{2}}{\tau -b},(1)$
Ομοιως από τα όμοια τρίγωνα AZE,EPL

και από το ορθογώνιο τρίγωνο $ZNL,x=\dfrac{\rho ^{2}}{\tau -a},(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{x}{t}=\dfrac{\tau -b}{\tau -a},(*)$
Από τα όμοια τρίγωνα $MPC,CZA,\dfrac{MP}{\tau -a}=\dfrac{CM}{CZ}=\dfrac{MJ}{\tau -b}\Leftrightarrow \dfrac{x-NM}{\tau -a}=\dfrac{t+NM}{\tau -b}$ και λόγω της σχέσης $(*)x^{2}-xNM=t^{2}+tNM\Leftrightarrow MP=t$
Αρα MK=2t+NM=2t+x-t=x+t=ML

Γιάννης

Καλησπέρα

#5

: Ένα μέσα_1.png (25.53 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές

Αν η

κόψει τη

στο

από το Θ. Μενελάου στο $\vartriangle ABC$ με διατέμνουσα τη $\overline {EZT}$ έχω:

$\dfrac{{AZ}}{{ZB}} \cdot \dfrac{{BT}}{{TC}} \cdot \dfrac{{CE}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{AZ}}{{DB}} \cdot \dfrac{{TB}}{{TC}} \cdot \dfrac{{DC}}{{AZ}} = 1 \Rightarrow \boxed{\dfrac{{TB}}{{TC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}}$ .

( γιατί $BZ = BD\,\,,\,\,AE = AZ$ )

Δηλαδή η η τετράδα $(T,D\backslash B,C)$ είναι αρμονική , συνεπώς και η δέσμη Z(T,D,B,C)

είναι αρμονική.

Κάθε παράλληλη προς την

θα τέμνει τις ZT,ZB,ZC

σε τρία σημεία ένα από τα οποία θα είναι μέσο του τμήματος των άλλων δύο .

Αφού η συζυγής της $ZB\,\,$ είναι η

το

θα είναι μέσο του

.

Ένα μέσο

Ένα μέσο

Re: Ένα μέσο

Re: Ένα μέσο

Re: Ένα μέσο

Re: Ένα μέσο

Μέλη σε σύνδεση