Ελαχιστοποίηση τμήματος

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση τμήματος.png (10.65 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος με AB=8 , AC=6

, το

είναι το έγκεντρο . Από σημείο

το οποίο κινείται επί της

, φέρω κάθετες προς τις AE,BE

, οι οποίες τέμνουν τις AC,BC

στα σημεία P,Q

αντίστοιχα . Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 25, 2018 12:59 pm
Ελαχιστοποίηση τμήματος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος με , το είναι το έγκεντρο . Από σημείο

το οποίο κινείται επί της , φέρω κάθετες προς τις , οι οποίες τέμνουν τις

στα σημεία αντίστοιχα . Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

: Ελαχιστοποίηση τμήματος..png (12.44 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές

Εύκολα βρίσκω ότι AS=AP=x,

οπότε

Άρα $\boxed{CP+CQ=8}$

Με ν. συνημιτόνων τώρα, $\displaystyle P{Q^2} = C{P^2} + C{Q^2} - 2CP \cdot CQ\cos C \Leftrightarrow P{Q^2} = {(CP + CQ)^2} - \frac{{16}}{5}CP \cdot CQ$

$\displaystyle P{Q^2} = 64 - \frac{{16}}{5}CP \cdot CQ,$ άρα το

ελαχιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται το γινόμενο $CP \cdot CQ,$ δηλαδή όταν

CP=CQ=4.

Τότε είναι $\boxed{ P{Q_{\min }} = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}}$ και εύκολα διαπιστώνουμε ότι τα P, S, Q

είναι τα σημεία επαφής του έγκυκλου με τις πλευρές του τριγώνου.

Ελαχιστοποίηση τμήματος

Ελαχιστοποίηση τμήματος

Re: Ελαχιστοποίηση τμήματος

Μέλη σε σύνδεση