Το μέγιστο ορθογώνιο

#1

: Το μέγιστο ορθογώνιο.png (11.71 KiB) Προβλήθηκε 1429 φορές

Σε κυκλικό τομέα ακτίνας

κέντρου

και τόξου $\overset\frown{AB}=2a,$ εγγράφουμε ορθογώνιο KLMN

με τις κορυφές K, N

πάνω

στις ακτίνες OA, OB

και τις άλλες δύο κορυφές L, M

πάνω στο τόξο. Να βρείτε το ορθογώνιο με το μέγιστο εμβαδόν.

S.E.Louridas · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 07, 2018 7:37 pm
Σε κυκλικό τομέα ακτίνας κέντρου και τόξου $\overset\frown{AB}=2a,$ εγγράφουμε ορθογώνιο με τις κορυφές πάνω
στις ακτίνες και τις άλλες δύο κορυφές πάνω στο τόξο. Να βρείτε το ορθογώνιο με το μέγιστο εμβαδόν.

Αρχικά δίνω το σχήμα της ημέτερης λύσης στο όμορφο κατά την άποψη μου αυτό πρόβλημα και θα ακολουθήσει η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη, όπου θα προσδιοριστεί πρώτα το

και μετά το

: φ1.png (19.93 KiB) Προβλήθηκε 1343 φορές

S.E.Louridas · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 07, 2018 7:37 pm
Σε κυκλικό τομέα ακτίνας κέντρου και τόξου $\overset\frown{AB}=2a,$ εγγράφουμε ορθογώνιο με τις κορυφές πάνω
στις ακτίνες και τις άλλες δύο κορυφές πάνω στο τόξο. Να βρείτε το ορθογώνιο με το μέγιστο εμβαδόν.

Επανέρχομαι για την πληρέστερη ημέτερη διαπραγμάτευση, στο όμορφο κατά την άποψη μου αυτό πρόβλημα.
Θεωρούμε $MT \bot LM.$ Τότε το σημείο

θα είναι και μέσο του ML.

Αν $S \equiv OT \cap NK,$ το σημείο

θα είναι μέσο του

και $OS \bot NK.$ Αυτό οδηγεί στο ότι το τρίγωνο OKN

είναι ισοσκελές με ON=OK.

Το ισοσκελές αυτό τρίγωνο διατηρεί τις γωνίες του, οπότε έχουμε την ύπαρξη σταθεράς k > 0

τέτοιας ώστε $\displaystyle{\frac{{NK}}{{ON}} = k \Leftrightarrow NK = k\,ON.}$ Για το πρόβλημα αρκεί το $NM \cdot NK$ να είναι μέγιστο, δηλαδή αρκεί το $k \cdot NM \cdot NO$ ή το γινόμενο $NM \cdot NO$ να είναι μέγιστο. Αν

είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος ακτίνας

στο τρίγωνο NOM

, τότε αυτός ο κύκλος είναι σταθερός και ως γνωστόν $NO \cdot NM = 2rN{N_1},$ οπότε ζητάμε το μέγιστο του ύψους NN_1

. Αυτό επιτυγχάνεται όταν NO=NM,

δηλαδή όταν $\angle MON = a/2.$ Άρα το

θα είναι το σημείο τομής του κύκλου

με την ημιευθεία

, όταν $\angle xOB = a/2.$ Η κάθετη τώρα στο

από το

τέμνει το

στο

και τέλος κατασκευάζουμε το ζητούμενο ορθογώνιο MNKL

με το μέγιστο εμβαδόν.

: φ1.png (19.93 KiB) Προβλήθηκε 1322 φορές

Ανδρέας Πούλος · #4

Στο συνημμένο σχήμα ονομάζω ON = x

, συνεπώς ισχύει ότι NE = R -x

,
Είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε ότι γωνία ABM = a

.
Ισχύουν οι σχέσεις:
NB = xsina

.
Άρα, το εμβαδόν του ζητούμενου ορθογώνιου είναι:
(NMLR) = 2sina(sina + cosa)x(R-x)

.
Η μεταβλητή ποσότητα της οποία πρέπει να μελετήσουμε τη μέγιστη τιμή είναι η x(R-x)

.
Αυτή παίρνει μέγιστη τιμή για .
Αυτή τη βρίσκουμε είτε από μέγιστη τιμή τριωνύμου, είτε από μέγιστη τιμή συνάρτησης μέσω παραγώγων.

Ανδρέας Πούλος · #5

Όπως μου υπέδειξαν ο Γιώργος Βισβίκης και ο Σωτήρης Λουρίδας,
έκανα λάθος στο ότι η γωνία ΑΜΒ = α. Θα το διορθώσω σύντομα.
Θα είμαι εκτός σπιτιού.

Ανδρέας Πούλος · #6

Επανέρχομαι στο θέμα, αυτή τη φορά με σωστό σχήμα.
Θα εκφράσουμε τα μήκη των τμημάτων του σχήματος, στην αρχή μέσω της βοηθητικής μεταβλητής

και στη συνέχεια μέσω της γωνία y = MOK

.
Προφανώς, θα συμμετέχουν οι σταθερές

,

.

Ισχύει NC = xsina NR=2xsina BE = (R-x)sina

Όμως, $siny = \frac{MP}{R}=\frac{NC}{R}=\frac{xsina}{R}\Rightarrow xsina=Rsiny$
Άρα, (1).
$cosy=\frac{OP}{R}=\frac{OC+CD+DP}{R}=\frac{Rcosa+DP}{R}\Rightarrow DP=R(coy-cosa)$
Άρα, EM = R(cosy-cosa) (2).
Αφού, $x=\frac{Rsiny}{sina} \Rightarrow NE = \left ( R -\frac{Rsiny}{sina} \right )cosa$
$NE = \frac{R(sina-siny)cosa}{sina}$ , (3),
$NM = NE + EM = \frac{R(sina-siny)cosa}{sina}+R(cosy-cosa) = ...=\frac{R[sina(a-y)]}{sina}$ (4)

Από τους τύπους (3) και (4) προκύπτει ότι: $(NMLR)=\frac{Rsin(a-y)2Rsiny}{sina}$

Άρα, αυτό που απομένει είναι να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης sin(a-y)siny

με μεταβλητή την

.

Δεν είναι ότι το ευκολότερο, θα κάνω και χρήση άλλων "μεθόδων" και θα επανέλθω.

max tect..docx: (49.51 KiB) Μεταφορτώθηκε 31 φορές

Ανδρέας Πούλος · #7

Κάνοντας χρήση του τύπου της Τριγωνομετρίας sinasinb = (1/2)*[sin(a+b) + sin(a-b)]

Αυτό που απομένει είναι η μελέτη της συνάρτησης f(y) = (1/2)*[sina +sin(a-2y)]

εν τέλει της g(x) = sin(a-2y)

με

.

Ανδρέας Πούλος · #8

Από τη μελέτη της μονοτονίας της συνάρτησης προκύπτει ότι
μέγιστη τιμή έχουμε όταν y = a/2

, δηλαδή το σημείο

είναι στη διχοτόμο της γωνίας BOT

.
Στο ίδιο συμπέρασμα έφτασε ο Σωτήρης, αλλά από άλλο δρόμο.

#9

Αφού ευχαριστήσω τον Σωτήρη και τον Ανδρέα για τις λύσεις τους, να ζητήσω επιπλέον να βρεθεί το $\displaystyle {(KLMN)_{\max }}$

S.E.Louridas · #10

Αν δεν έχω κάνει κάποιο λαθάκι, με βάση το ότι $NK = 2NO\,\sin a,$ τον νόμο των ημιτόνων στο ισοσκελές τρίγωνο NOM

, για το «επίμαχο» εμβαδόν παίρνουμε $(KLMN)_{max} = {R^2}\tan \frac{a}{2}.$

(*) Εργάστηκα στο σχήμα της ημέτερης διαπραγμάτευσης.
(**) Όμορφο θέμα που μάλλον προσφέρεται και για άλλες προσεγγίσεις.

Ανδρέας Πούλος · #11

Το ίδιο βρίσκω και εγώ από τον τύπο:
$(NMLR)=\frac{Rsin(a-y)2Rsiny}{sina}$
αν θέσω y=a/2

κάνοντας χρήση και του τύπου sina=2sin(a/2)cos(a/2)

.

#12

Καλησπέρα...

Αναρτώ κι εγώ μια, λίγο διαφορετική επεξεργασία ...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα.

: Μέγιστο εμβαδόν 1.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 1061 φορές

Θεωρώ στο ανωτέρω σχήμα το μισό του ορθογωνίου που μελέτησε ο Σωτήρης και ο Ανδρέας
και μάλιστα εγγεγραμμένο στον τομέα $\displaystyle{OAB}$ με ένα τρόπο, όπως αυτόν του ανωτέρω σχήματος.
Επίσης θεωρώ την ακτίνα του κύκλου ίση με τη μονάδα χωρίς βλάβη της γενικότητας. Αρκεί λοιπόν
να βρεθεί πότε το ορθογώνιο αυτό θα γίνει μέγιστο, δηλαδή για ποια τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{m=OM}$
γίνεται το εμβαδόν του ορθογωνίου αυτού μέγιστο.
Από το σχήμα αυτό προκύπτει:

$\displaystyle{OK=mcos\alpha, \ \ KM=msinα\alpha \ \ (1)}$

Είναι δηλαδή: $\displaystyle{M(mcos\alpha, msin\alpha)}$

Αν οι συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{N}$ είναι $\displaystyle{x_N, y_N}$ , τότε θα είναι:

$\displaystyle{y_N=KM=msin\alpha}$

και συνεπώς:

$\displaystyle{x_N^2+m^2sin^2\alpha=1 \Rightarrow x_N=\sqrt{1-m^2sin^2\alpha} \ \ (2)}$

Επομένως η οριζόντια πλευρά του ορθογωνίου που μελετάμε είναι:

$\displaystyle{KL=x_N-x_K=\sqrt{1-m^2sin^2\alpha}-mcos\alpha \ \ (3)}$

Από τις (1) και (3) προκύπτει ότι η συνάρτηση που δίνει το εμβαδόν του ορθογωνίου αυτού είναι:

$\displaystyle{E(m)=(KL)(KM)=msin\alpha (\sqrt{1-m^2sin^2\alpha}-mcos\alpha) \ \ (4)}$

Η πρώτη παράγωγος αυτής είναι:

$\displaystyle{E'(m)=\frac{sin\alpha-2m^2sin^3\alpha}{\sqrt{1-m^2sin^2\alpha}}-msin(2\alpha) \ \ (5)}$

Μηδενίζοντας την παράγωγο αυτή και λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς που τίθενται
από τη ρίζα και τον παρονομαστή καταλήγουμε στη διτετράγωνη εξίσωση:

$\displaystyle{4sin^2\alpha \cdot m^4-4m^2+1=0 \ \ (6)}$

Έτσι η εξίσωση αυτή στο διάστημα $\displaystyle{[0,1]}$ έχει μοναδική λύση την

$\displaystyle{ m_o=\frac{1}{2cos\frac{\alpha}{2}} \ \ (7)}$

Η τιμή αυτή διαπιστώνεται από τις τιμές της συνάρτησης $\displaystyle{E(m)}$ στα άκρα του διαστήματος $\displaystyle{[0,1]}$
ότι δίνει μέγιστη τιμή.

Έτσι έχουμε πλέον ένα νέο σχήμα:

: Μέγιστο εμβαδόν 2.png (16.68 KiB) Προβλήθηκε 1061 φορές

στον οποίο βλέπουμε το πράσινο ορθογώνιο με το μέγιστο εμβαδόν καθώς επίσης και τη
γραφική παράσταση της συνάρτησης του εμβαδού με κόκκινο χρώμα.
Για την καλύτερη κατανόηση του σχήματος θυμίζω ότι είναι $\displaystyle{OS=OM=m}$ .

Μένει τώρα να φανεί ότι η λύση αυτή συμφωνεί με τα αποτελεσματα των άλλων λύσεων.
Αρκεί να δείξουμε ότι στη θέση του ακροτάτου έχουμε ότι η $\displaystyle{ON_o}$ είναι διχοτόμος της
γωνίας $\displaystyle{\alpha}$ .
Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε το ακόλουθο σχήμα:

: Μέγιστο εμβαδόν 3.png (15.04 KiB) Προβλήθηκε 1061 φορές

Στο σχήμα αυτό είναι: $\displaystyle{OM_o=m_o=\frac{1}{2cos\frac{\alpha}{2}}=OS_o}$

Άρα οι συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{M_o}$ είναι:

$\displaystyle{x_M_o=(OM_o)cos\alpha=\frac{1}{2cos\frac{\alpha}{2}}cos\alpha }$

$\displaystyle{y_M_o=(OM_o)sin\alpha =\frac{1}{2cos\frac{\alpha}{2}}sin\alpha=...=sin\frac{a}{2}=y_N_o \ \ (8)}$

Η τελευταία σχέση δηλώνει ότι η $\displaystyle{ON_o}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\alpha}$ .

Τέλος για το εμβαδόν στη θέση αυτή του ακροτάτου θα είναι μετά από πράξεις ότι

$\displaystyle{E(K_oL_oN_oM_o)=\frac{1}{2}tan\frac{\alpha}{2}} \ \ (9)}$

Ο τύπος αυτός συμφωνεί με τον τύπο των άλλων λύσεων διότι θεωρήθηκε ότι $\displaystyle{R=1}$
καθώς επίσης και το ορθογώνιο που μελετήσαμε είναι το μισό του αρχικού.

Σημείωση: Η προσπάθεια αυτή είναι επίπονη, δείχνει όμως ότι στα μαθηματικά
κάποιες φορές υπάρχουν κι άλλοι δρόμοι που οδηγούν στο φώς...
και κάτι ακόμα:
Τα πρόχειρα που χρειάστηκα και συμβουλεύτηκα στη γραφή ήταν περίπου 8 σελίδες
από πράξεις. Ιδιαίτερα στην αποδοχή ή απόριψη των λύσεων της διτετράγωνης εξίσωσης.
Τέλος μεγάλη βοήθεια στα σχήματα, ιδιαίτερα στη γραφική παράσταση, είχα από το λογισμικό
ggb, γιαυτό και τα ανωτέρω σχήματα είναι σχήματα άκριβείας κι όχι απλά σχεδιάσματα.

Κώστας Δόρτσιος

S.E.Louridas · #13

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 14, 2018 1:27 am
...Η προσπάθεια αυτή είναι επίπονη, δείχνει όμως ότι στα μαθηματικά
κάποιες φορές υπάρχουν κι άλλοι δρόμοι που οδηγούν στο φώς... :
Κώστας Δόρτσιος

ΝΑΙ!!!! ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΕΙΝΑΙ ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΤΣΙ, ΟΠΩΣ ΔΗΛΑΔΗ ΤΟ ΕΚΦΡΑΖΕΙ ΕΔΩ Ο ΚΩΣΤΑΣ.
Προσωπικά θα έλεγα: Πολλές φορές υπάρχουν κι άλλοι δρόμοι που οδηγούν στο φώς. Ειδικά δε στις μέρες μας, όπου υπάρχουν και τα Εκπληκτικά Μαθηματικά Λογισμικά, που τουλάχιστον ως "αντικλείδια" ανοίγουν βασικές πόρτες στη πορεία της όποιας Μαθηματικής διαπραγμάτευσης.

#14

Να ευχαριστήσω και τον Κώστα Δόρτσιο για την εμπεριστατωμένη κάλυψη του θέματος.

#15

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 15, 2018 9:07 am

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 14, 2018 1:27 am
...Η προσπάθεια αυτή είναι επίπονη, δείχνει όμως ότι στα μαθηματικά
κάποιες φορές υπάρχουν κι άλλοι δρόμοι που οδηγούν στο φώς... :
Κώστας Δόρτσιος
ΝΑΙ!!!! ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΕΙΝΑΙ ΑΚΡΙΒΩΣ ΕΤΣΙ,
ΟΠΩΣ ΔΗΛΑΔΗ ΤΟ ΕΚΦΡΑΖΕΙ ΕΔΩ Ο ΚΩΣΤΑΣ.
Προσωπικά θα έλεγα:
Πολλές φορές υπάρχουν κι άλλοι δρόμοι που οδηγούν στο φώς.
Ειδικά δε στις μέρες μας, όπου υπάρχουν και τα Εκπληκτικά Μαθηματικά Λογισμικά,
που τουλάχιστον ως "αντικλείδια" ανοίγουν βασικές πόρτες στη πορεία της όποιας
Μαθηματικής διαπραγμάτευσης.

Σωτήρη καλημέρα.

Συμφωνώ απόλυτα με το σχόλιό σου σχετικά με τα λογισμικά. Πράγματι λειτουργούν
στη δουλειά ενός μαθηματικού, και όχι μόνο, ως ένα "αντικλείδι"!!!. Πολύ εύστοχη και
πετυχημένη παρομοίωση και μου δίνει την ευκαιρία να πω και μερικά ακόμα...

Ωραία,..., τα λογισμικά είναι το "αντικλείδι" που μας ανοίγει τη θύρα για να μπούμε
στον όμορφο Πύργο των Μαθηματικών. Το "αντικλείδι" βέβαια έχει και μια ενοχή,
έχει και μια αναφορά, ίσως, σε μια παράνομη πράξη. Κανονικά στον πύργο αυτό των
Μαθηματικών θα έπρεπε ο καθένας μας να μπαίνει με το κανονικό "κλειδί" που δεν
τίποτα άλλο από τη νόηση μας, μια πλατωνική έννοια, και μόνο τότε θα λέγαμε ότι
είμαστε νόμιμοι επισκέπτες στο μεγάλο δείπνο της επιστήμης αυτής.

"Αντικλείδια" τέτοια οι άνθρωποι, που ασχολήθηκαν κατά καιρούς με τα Μαθηματικά,
επινόησαν πολλά. Για παράδειγμα τα γεωμετρικά σχήματα στην άμμο, στον πάπυρο,
στις περγαμηνές. Ειδικότερα, χάρασσαν σημεία ή ευθείες που δεν ήταν καθόλου
τέτοιες όπως τις όρισε ο Ευκλείδης. Και τούτο γιατί, το σημείο αφού σημειωθεί κάπου
έχει διαστάσεις, η ευθεία πάνω σε ένα χαρτί έχει κάποιο πάχος.
Έτσι θα λέγαμε σήμερα ότι όλα αυτά τα σχήματα που δεν ήταν σύμφωνα με τις
επιταγές των αξιωμάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας λειτουργούσαν ως
"αντικλείδι" στην καθημερινή δουλειά των ανθρώπων. Κυρίαρχο λόγο πάντα είχε
η νόηση του ανθρώπου. Αυτή η λειτουργία "πατούσε" πάνω στα σχήματα αυτά
και προχωρούσε. Άρα τελικά το λόγο πάντα έχει η νόηση με ό,τι αυτή συνεπάγεται.

Εξάλλου ο Αριστοτέλης δηλώνει σε κάποιο χωρίο στο έργο του με τίτλο "Αναλυτικά Πρότερα-
Ύστερα, τα εξής:
"Ο γεωμέτρης, ωστόσο, δεν συμπεραίνει το παραμικρό από τη
συγκεκριμένη γραμμή την οποία μνημόνευσε, αλλά από τα όσα
υποδηλώνουν τα σχήματά του".

Σήμερα η νέα τεχνολογία μας παρέχει πολλά τέτοια "αντικλείδια", πολλά τέτοια
"εργαλεία", που θα στηρίξουν καλύτερα τη υψηλή ανθρώπινη λειτουργία, τη
νόηση, να κατακτήσει νέους ορίζοντες και νέες βουνοκορφές.

Κώστας Δόρτσιος

Το μέγιστο ορθογώνιο

Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Re: Το μέγιστο ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση