Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Απρ 27, 2018 10:30 pm

2.png
2.png (9.61 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές
Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο AB\Gamma \Delta του παραπάνω σχήματος, ισχύει ότι: A\Delta =B\Gamma .

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7903
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Απρ 28, 2018 12:31 am

Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.png
Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.png (36.65 KiB) Προβλήθηκε 390 φορές
Αύριο τα λόγια .


Edit: ¨άρση απόκρυψης
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Απρ 28, 2018 11:22 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2055
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Απρ 28, 2018 1:40 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Απρ 27, 2018 10:30 pm
2.png
Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο AB\Gamma \Delta του παραπάνω σχήματος, ισχύει ότι: A\Delta =B\Gamma .

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \theta .

Έστω \displaystyle O το κέντρο του περίκυκλου του \displaystyle \vartriangle ABC και \displaystyle OB η ακτίνα του

Από τη σχέση επίκεντρης- εγγεγραμμένης θα έχουμε \displaystyle \angle BOC = {40^0} και

\displaystyle \angle BOA = {20^0} \Rightarrow \angle COA = {60^0} \Rightarrow AC = AO = OC

Τα τρίγωνα \displaystyle ABC,AOD είναι ίσα αφού έχουν \displaystyle AO = AC,AD = BC

και \displaystyle \angle OAD = \angle BCA = {10^0} άρα \displaystyle \angle DOA = {20^0}

Επομένως η \displaystyle AO σχηματίζει με τις \displaystyle OD,OB ίσες γωνίες \displaystyle {20^0}

άρα \displaystyle O,D,B συνευθειακά και \displaystyle \boxed{\theta  = {{20}^0} + {{10}^0} = {{30}^0}}
γωνία.png
γωνία.png (12.43 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7903
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Απρ 28, 2018 11:20 am

Γράφω το κύκλο (B,BC) που τέμνει την ευθεία CA ακόμα στο E. Αβίαστα προκύπτει ότι \vartriangle ABE \to (160^\circ ,10^\circ ,10^\circ ) και συνεπώς αν φέρουμε τη κάθετη από το
Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο_ok.png
Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο_ok.png (40.84 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές

A στην EB η προκύπτουσα χορδή PQ είναι μεσοκάθετη στην ακτίνα BE. Αναγκαστικά τώρα : το τρίγωνο BPE είναι ισόπλευρο και άρα :

\widehat {PAD} = 180^\circ  - (70^\circ  + 20^\circ  + 50^\circ ) = 30^\circ  = \widehat {APB}, op;ote το μεν τετράπλευρο AEPD είναι παραλληλόγραμμο , ενώ το τετράπλευρο APDB είναι ισοσκελές τραπέζιο

και έτσι \boxed{\widehat \theta  = 30^\circ }


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1655
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Υπολογισμός γωνίας σε τετράπλευρο.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Απρ 28, 2018 3:08 pm

Θα αποδείξουμε το ισοδύναμο πρόβλημα:

Αν τετράπλευρο ABCD έχει \widehat{BAC}=20^\circ, \, \widehat{CAD}=50^\circ, \, \widehat{BCA}=20^\circ και \widehat{ADB}=30^\circ, τότε AD=BC.

Απόδειξη

Φέρνουμε την AL \perp BC, και έστω ότι τέμνει την εκ του B παραλλήλου προς την AC, στο σημείο K.

Τότε, από το ορθογώνιο \vartriangle LAD, είναι \widehat{BAL}=\widehat{LAF}=10^\circ, και χρησιμοποιώντας την παραλληλία BK \parallel AC, προκύπτουν οι γωνίες του σχήματος.

Τότε, \widehat{KBC}=\widehat{KAC}=10^\circ \Rightarrow ABKC εγγράψιμο. Επίσης, BK \parallel AC \Rightarrow ABKC τραπέζιο, και άρα το ABKC είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Έτσι, BC=AK (1).

Αφού όμως \widehat{BAK}=\widehat{BKA}=10^\circ \Rightarrow AK=2AL (2).

Επίσης, το \vartriangle LAD είναι ορθογώνιο, με \widehat{ADL}=30^\circ, άρα AD=2AL (3).

Από (1), (2), (3) είναι BC=AK=2AL=AD, άρα BC=AD, ό.έ.δ.
GONIA-FANIS.ggb.png
GONIA-FANIS.ggb.png (29.25 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες