Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Από σημείο

μιας ευθείας που εφάπτεται σε κύκλο (O,r)

σε σημείο του

,

φέρουμε και το ( άλλο) εφαπτόμενο τμήμα

. Η

τέμνει την προέκταση

της

στο

. Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου PTS

.

#2

: Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12.png (26.82 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές

Θέτω $AS = x\,,\,AT = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,(PTS) = E$ και είναι :

$E = r(x + \dfrac{y}{2})\,\,\,(1)$ και από την ομοιότητα $\vartriangle PTS \approx \vartriangle ATO$ ,

$\dfrac{{OA}}{{PS}} = \dfrac{{AT}}{{TP}} \Rightarrow \dfrac{r}{x} = \dfrac{y}{{r + \sqrt {{r^2} + {y^2}} }} \Rightarrow y = \dfrac{{2x{r^2}}}{{{x^2} - {r^2}}}\,\,(2)$

Προφανές ότι αν x = r

δεν υπάρχει τρίγωνο PTS

και έτσι η (1)

δίδει :

$\boxed{E = E(x) = \frac{{r{x^3}}}{{{x^2} - {r^2}}}}$ που παρουσιάζει ελάχιστο αν $x = r\sqrt 3 \,\,\,$ το

$\boxed{E(r\sqrt 3 ) = \frac{{3\sqrt 3 {r^2}}}{2}}$ .

Θα είναι τότε : x=y

και η γωνία στο

,

S.E.Louridas · #3

Με λίγη επιπλέον γνώση.
Εστω

το συμμετρικό του

ως προς

Τότε αρκεί το τρίγωνο TSS'

να είναι το ελάχιστο.
Από γνωστή όμως βασική πρόταση αυτό επιτυγχάνεται όταν αυτό γίνει ισόπλευρο.

Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12

Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12

Re: Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12

Re: Ελαχιστοποίηση εμβαδού 12

Μέλη σε σύνδεση