Δίνονται δύο κύκλοι

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5176
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Δίνονται δύο κύκλοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Απρ 19, 2018 10:53 pm

Δίνονται δύο κύκλοι {c_1},\;{c_2} με διάκεντρο μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτινών τους (αυτό απλά το δίνουμε για να έχουμε ανοικτότερο σχήμα) και δύο σημεία A,\;B των {c_1},\;{c_2} αντίστοιχα. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων M του επιπέδου των κύκλων που έχουν την ιδιότητα AB\parallel CD, αν C,\;D είναι τα άλλα σημεία τομής των MA,\;MB με τους κύκλους {c_1},\;{c_2} αντίστοιχα.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5176
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Δίνονται δύο κύκλοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Απρ 23, 2018 7:36 am

Καλημέρα.
ΕΠΑΝΑΦΟΡΑ με βάση ένα επιπλέον δεδομένο στην εκφώνηση που γίνεται:

Δίνονται δύο κύκλοι {c_1},\;{c_2} με διάκεντρο μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτινών τους (αυτό απλά το δίνουμε για να έχουμε ανοικτότερο σχήμα) και δύο σημεία A,\;B των {c_1},\;{c_2} αντίστοιχα, ώστε η AB να είναι κοινή εξωτερική τους εφαπτομένη. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων M του επιπέδου των κύκλων που έχουν την ιδιότητα AB\parallel CD, αν C,\;D είναι τα άλλα σημεία τομής των MA,\;MB με τους κύκλους {c_1},\;{c_2} αντίστοιχα.


(*) Το προηγούμενο όπως είχε τεθεί είναι ως γεωμετρικός τόπος έλικα ευρύτερης συμπεριφοράς. Ειλικρινά συγγνώμη για την ταλαιπωρία. Πράγματι με το επιπλέον δεδομένο που έχω υπογραμμίσει, γίνεται πλέον προσιτό.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6642
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δίνονται δύο κύκλοι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 24, 2018 11:42 am

S.E.Louridas έγραψε:
Δευ Απρ 23, 2018 7:36 am
Καλημέρα.
ΕΠΑΝΑΦΟΡΑ με βάση ένα επιπλέον δεδομένο στην εκφώνηση που γίνεται:

Δίνονται δύο κύκλοι {c_1},\;{c_2} με διάκεντρο μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτινών τους (αυτό απλά το δίνουμε για να έχουμε ανοικτότερο σχήμα) και δύο σημεία A,\;B των {c_1},\;{c_2} αντίστοιχα, ώστε η AB να είναι κοινή εξωτερική τους εφαπτομένη. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων M του επιπέδου των κύκλων που έχουν την ιδιότητα AB\parallel CD, αν C,\;D είναι τα άλλα σημεία τομής των MA,\;MB με τους κύκλους {c_1},\;{c_2} αντίστοιχα.


(*) Το προηγούμενο όπως είχε τεθεί είναι ως γεωμετρικός τόπος έλικα ευρύτερης συμπεριφοράς. Ειλικρινά συγγνώμη για την ταλαιπωρία. Πράγματι με το επιπλέον δεδομένο που έχω υπογραμμίσει, γίνεται πλέον προσιτό.
Καλημέρα Σωτήρη, Καλημέρα σε όλους!
Δίνονται Δύο κύκλοι...png
Δίνονται Δύο κύκλοι...png (15.17 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές

Μία σκέψη, χωρίς τεκμηρίωση (ακόμα). Έστω K, L τα κέντρα των δύο κύκλων και O το σταθερό σημείο τομής των KL, AB.

Από ένα από τα δύο κέντρα, έστω το L, φέρνω παράλληλη στην AB που τέμνει του κύκλους στα C, D όπως φαίνεται στο σχήμα.

Ονομάζω S το σταθερό σημείο τομής των CA, DB και έστω OS=R.Tο σημείο M του γεωμετρικού τόπου κινείται στον κύκλο (O, R).


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5176
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Δίνονται δύο κύκλοι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Μάιος 16, 2018 7:55 am

Ευχαριστώ πολύ τον Γιώργο.
Η ημέτερη διαπραγμάτευση είναι η εξής:
Έστω {r_1}, {r_2} οι ακτίνες των κύκλων {c_1}, {c_2} αντίστοιχα. Θεωρούμε τον κύκλο c, ακτίνας r που είναι περιγεγραμμένος στο τρίγωνο MAB. Παρατηρούμε ότι \angle A{O_1}C = 2\angle AEC με \angle KAC= \angle AEC, αφού η γωνία \angle KAC είναι η υπό χορδής και εφαπτομένης σχηματιζόμενη και η γωνία \angle AEC είναι η αντίστοιχη εγγεγραμμένη. Όμως οι γωνίες \angle KAC,\;\angle BAM είναι ίσες ως κατακορυφή και \angle BOM = 2\angle BAM . Συνεπώς από τις προηγούμενες σχέσεις παίρνουμε \angle A{O_1}C = \angle BOM. Τα ισοσκελή λοιπόν τρίγωνα {O_1}AC,\;OBM είναι όμοια. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι τα τρίγωνα {O_2}DB,\;OMA είναι όμοια. Τελικά έχουμε \displaystyle{\frac{{MB}}{{AC}} = \frac{r}{{{r_1}}},\;\frac{{BD}}{{MA}} = \frac{{{r_2}}}{r}.} Πολλαπλασιάζουμε τις σχέσεις αυτές κατά μέλη και παίρνουμε \displaystyle{\frac{{MB}}{{MA}} \cdot \frac{{BD}}{{AC}} = \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}},} με \displaystyle{\frac{{BD}}{{AC}} = \frac{{MB}}{{MA}}} από το θεώρημα του Θαλή. Τελικά έχουμε \displaystyle{\frac{{M{B^2}}}{{M{A^2}}} = \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}} ή \displaystyle{\frac{{MB}}{{MA}} = \sqrt {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} .}}
Συνεπώς το σημείο M θα ανήκει στον απολλώνιο κύκλο στο τρίγωνο MAB, με λόγο \displaystyle{\frac{{MB}}{{MA}} = \sqrt {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} ,}} που προφανώς είναι σταθερός.
Locus.png
Locus.png (24.03 KiB) Προβλήθηκε 16 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης