mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 19, 2018 10:53 pm**

Δίνονται δύο κύκλοι ${c_1},\;{c_2}$ με διάκεντρο μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτινών τους (αυτό απλά το δίνουμε για να έχουμε ανοικτότερο σχήμα) και δύο σημεία $A,\;B$ των ${c_1},\;{c_2}$ αντίστοιχα. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων

του επιπέδου των κύκλων που έχουν την ιδιότητα $AB\parallel CD,$ αν $C,\;D$ είναι τα άλλα σημεία τομής των $MA,\;MB$ με τους κύκλους ${c_1},\;{c_2}$ αντίστοιχα.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 23, 2018 7:36 am**

Καλημέρα.
ΕΠΑΝΑΦΟΡΑ με βάση ένα επιπλέον δεδομένο στην εκφώνηση που γίνεται:

Δίνονται δύο κύκλοι ${c_1},\;{c_2}$ με διάκεντρο μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτινών τους (αυτό απλά το δίνουμε για να έχουμε ανοικτότερο σχήμα) και δύο σημεία $A,\;B$ των ${c_1},\;{c_2}$ αντίστοιχα, ώστε η να είναι κοινή εξωτερική τους εφαπτομένη. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων

του επιπέδου των κύκλων που έχουν την ιδιότητα $AB\parallel CD,$ αν $C,\;D$ είναι τα άλλα σημεία τομής των $MA,\;MB$ με τους κύκλους ${c_1},\;{c_2}$ αντίστοιχα.

(*) Το προηγούμενο όπως είχε τεθεί είναι ως γεωμετρικός τόπος έλικα ευρύτερης συμπεριφοράς. Ειλικρινά συγγνώμη για την ταλαιπωρία. Πράγματι με το επιπλέον δεδομένο που έχω υπογραμμίσει, γίνεται πλέον προσιτό.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 24, 2018 11:42 am**

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Δευ Απρ 23, 2018 7:36 am
Καλημέρα.
ΕΠΑΝΑΦΟΡΑ με βάση ένα επιπλέον δεδομένο στην εκφώνηση που γίνεται:

Δίνονται δύο κύκλοι ${c_1},\;{c_2}$ με διάκεντρο μεγαλύτερη από το άθροισμα των ακτινών τους (αυτό απλά το δίνουμε για να έχουμε ανοικτότερο σχήμα) και δύο σημεία $A,\;B$ των ${c_1},\;{c_2}$ αντίστοιχα, ώστε η να είναι κοινή εξωτερική τους εφαπτομένη. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των κύκλων που έχουν την ιδιότητα $AB\parallel CD,$ αν $C,\;D$ είναι τα άλλα σημεία τομής των $MA,\;MB$ με τους κύκλους ${c_1},\;{c_2}$ αντίστοιχα.

(*) Το προηγούμενο όπως είχε τεθεί είναι ως γεωμετρικός τόπος έλικα ευρύτερης συμπεριφοράς. Ειλικρινά συγγνώμη για την ταλαιπωρία. Πράγματι με το επιπλέον δεδομένο που έχω υπογραμμίσει, γίνεται πλέον προσιτό.

Καλημέρα Σωτήρη, Καλημέρα σε όλους!

: Δίνονται Δύο κύκλοι...png (15.17 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 16, 2018 7:55 am**

Ευχαριστώ πολύ τον Γιώργο.
Η ημέτερη διαπραγμάτευση είναι η εξής:
Έστω ${r_1}, {r_2}$ οι ακτίνες των κύκλων ${c_1}, {c_2}$ αντίστοιχα. Θεωρούμε τον κύκλο

, ακτίνας

που είναι περιγεγραμμένος στο τρίγωνο MAB.

Παρατηρούμε ότι $\angle A{O_1}C = 2\angle AEC$ με $\angle KAC= \angle AEC$ , αφού η γωνία $\angle KAC$ είναι η υπό χορδής και εφαπτομένης σχηματιζόμενη και η γωνία $\angle AEC$ είναι η αντίστοιχη εγγεγραμμένη. Όμως οι γωνίες $\angle KAC,\;\angle BAM$ είναι ίσες ως κατακορυφή και $\angle BOM = 2\angle BAM$ . Συνεπώς από τις προηγούμενες σχέσεις παίρνουμε $\angle A{O_1}C = \angle BOM.$ Τα ισοσκελή λοιπόν τρίγωνα ${O_1}AC,\;OBM$ είναι όμοια. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι τα τρίγωνα ${O_2}DB,\;OMA$ είναι όμοια. Τελικά έχουμε $\displaystyle{\frac{{MB}}{{AC}} = \frac{r}{{{r_1}}},\;\frac{{BD}}{{MA}} = \frac{{{r_2}}}{r}.}$ Πολλαπλασιάζουμε τις σχέσεις αυτές κατά μέλη και παίρνουμε $\displaystyle{\frac{{MB}}{{MA}} \cdot \frac{{BD}}{{AC}} = \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}},}$ με $\displaystyle{\frac{{BD}}{{AC}} = \frac{{MB}}{{MA}}}$ από το θεώρημα του Θαλή. Τελικά έχουμε $\displaystyle{\frac{{M{B^2}}}{{M{A^2}}} = \frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}$ ή $\displaystyle{\frac{{MB}}{{MA}} = \sqrt {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} .}}$
Συνεπώς το σημείο

θα ανήκει στον απολλώνιο κύκλο στο τρίγωνο MAB

, με λόγο $\displaystyle{\frac{{MB}}{{MA}} = \sqrt {\frac{{{r_2}}}{{{r_1}}}} ,}}$ που προφανώς είναι σταθερός.

: Locus.png (24.03 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές

mathematica.gr

Δίνονται δύο κύκλοι

Δίνονται δύο κύκλοι

Re: Δίνονται δύο κύκλοι

Re: Δίνονται δύο κύκλοι

Re: Δίνονται δύο κύκλοι