Ορθέας Περίδης

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9811
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθέας Περίδης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 17, 2018 9:06 pm

Ορθέας  Περίδης.png
Ορθέας Περίδης.png (18.57 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές
Σε τρίγωνο με AB=5 , AC=8 , BC=7 , βρείτε την απόσταση ορθοκέντρου - περικέντρου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5865
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθέας Περίδης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Απρ 17, 2018 9:51 pm

Περίδης Ορθέας.png
Περίδης Ορθέας.png (33.77 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

Έστω S ο νότιος πόλος . Εύκολα έχω ότι \widehat {BAC} = 60^\circ οπότε το τετράπλευρο

AHSO είναι ρόμβος και το τρίγωνο OSC ισόπλευρο πλευράς R = \dfrac{7}{{\sqrt 3 }}.

Από το Θ. Πτολεμαίου έχω : AS \cdot BC = AB \cdot SC + AC \cdot SB \Rightarrow \boxed{AS = \frac{{13R}}{7}}.

Αν M το σημείο τομής των διαγώνιων του ρόμβου από το Π. Θ. στο MAO έχω :

NO = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \boxed{HO = 3}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10313
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ορθέας Περίδης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Απρ 18, 2018 1:14 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 17, 2018 9:06 pm
Σε τρίγωνο με AB=5 , AC=8 , BC=7 , βρείτε την απόσταση ορθοκέντρου - περικέντρου .
.
Για την ιστορία, το πρόβλημα αυτό για γενικό τρίγωνο λύθηκε από τον Euler το 1765 στην εργασία του
Solutio facilis problematum quorumdam geometricorum difficillimorum που δημοσιεύτηκε στο
Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 11 (1765) 1767 σελίδες 12-14, 103-123.

Στην ίδια εργασία, πέρα από το μήκος OH, ο Euler βρίσκει και τα OG, GH και παρατηρεί ότι ισχύει OH=OG+GH. Το συμπέρασμα
είναι ότι τα O,G,H είναι συνευθειακά (ευθεία Euler), γεγονός αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Euler στην εν λόγω εργασία.

Θα την βρείτε στο Euler Archive εδώ. Είναι η εργασία Ε325 αλλά για να την διαβάσετε,
σκέτη απόλαυση, πρέπει να φρεσκάρετε τα Λατινικά σας.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6963
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθέας Περίδης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 18, 2018 10:10 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 17, 2018 9:06 pm
Ορθέας Περίδης.pngΣε τρίγωνο με AB=5 , AC=8 , BC=7 , βρείτε την απόσταση ορθοκέντρου - περικέντρου .
Μία Τριγωνομετρική.
Ορθ-Περ.png
Ορθ-Περ.png (11.31 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές
Με νόμο συνημιτόνων βρίσκω ότι \displaystyle \widehat A = {60^0},\cos B = \frac{1}{7} και στη συνέχεια \displaystyle \sin B = \frac{{4\sqrt 3 }}{7}.

Αλλά, \displaystyle a = 2R\sin {60^0} \Leftrightarrow R = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}. Επίσης, \displaystyle AH = 2R\cos {60^0} = R = OA \Rightarrow \boxed{OH = 2R\sin \theta }

Είναι ακόμα, \displaystyle 2\theta  = {60^0} - 2B\widehat AD = {60^0} - 2({90^0} - \widehat B) \Leftrightarrow \theta  = \widehat B - {60^0}

Άρα, \displaystyle OH = 2R\sin (B - {60^0}) = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{7} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{7} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \Leftrightarrow \boxed{OH=3}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10313
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ορθέας Περίδης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Απρ 18, 2018 11:13 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Απρ 17, 2018 9:06 pm
Σε τρίγωνο με AB=5 , AC=8 , BC=7 , βρείτε την απόσταση ορθοκέντρου - περικέντρου .
Αξίζει να προστεθούν οι γενικοί τύποι, για κάθε τρίγωνο, για το μήκος OH.

Είναι

\displaystyle{\boxed {OH^2 = R^2(1-8\cos A \cos B \cos C)= 9R^2-(a^2+b^2+c^2) }

Τις αποδείξεις μπορεί να τις βρει κανείς στις καλές παλιές Τριγωνομετρίες (Π.χ. στην τρίτομη του Πανάκη, βλέπε τόμος 2, σελίς 159) ή
στα βιβλία Γεωμετρικών Ανισοτήτων.

Μία γρήγορη απόδειξη της πρώτης είναι με εύρεση της δύναμης του H ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο.

Πορίσματα των παραπάνω είναι πολλά και ενδιαφέροντα, π.χ. οι γνωστές ανισότητες

\displaystyle{\cos A \cos B \cos C \le \frac {1}{8},  \, \, a^2+b^2+c^2 \le 9R^2}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9811
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ορθέας Περίδης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 18, 2018 11:51 am

Περίδης  γενίκευση.png
Περίδης γενίκευση.png (15.53 KiB) Προβλήθηκε 161 φορές
Ωραίες λύσεις και ενδιαφέρουσες πληροφορίες . Προφανώς η ιδέα είναι ότι \hat{A}=60^0 .

Άλλη διατύπωση : Τρίγωνο \displaystyle ABC με AB<AC και \hat{A}=60^0 είναι εγγεγραμμένο

σε κύκλο (O) .Γράφουμε τον κύκλο (B,O,C) , ο οποίος τέμνει την AC στο S .

α) Δείξτε ότι το κέντρο Kαυτού του κύκλου είναι το συμμετρικό του O ως προς BC .

β) Δείξτε ότι το ορθόκεντρο H του τριγώνου είναι σημείο αυτού του κύκλου .

γ) Δείξτε ότι HO=SC , δηλαδή : HO=b-c .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10313
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ορθέας Περίδης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Απρ 18, 2018 4:09 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Απρ 18, 2018 11:51 am

Άλλη διατύπωση : Τρίγωνο \displaystyle ABC με AB<AC και \hat{A}=60^0 είναι εγγεγραμμένο

σε κύκλο (O) .Γράφουμε τον κύκλο (B,O,C) , ο οποίος τέμνει την AC στο S .

α) Δείξτε ότι το κέντρο Kαυτού του κύκλου είναι το συμμετρικό του O ως προς BC .

β) Δείξτε ότι το ορθόκεντρο H του τριγώνου είναι σημείο αυτού του κύκλου .

γ) Δείξτε ότι HO=SC , δηλαδή : HO=b-c .
Πολλή ενδιαφέρουσα η αναδιατύπωση. Ας την δούμε με εφαρμογή του τύπου \displaystyle{OH^2 =9R^2-(a^2+b^2+c^2)} που έγραψα:

Τα α) και β) είναι άμεσα από το γεγονός ότι \angle BOC = \angle BHC = 120^o. Για το γ), εύκολα βλέπουμε ότι a=R\sqrt 3 οπότε
από τον Νόμο των Συνημιτόνων

\displaystyle{OH^2 =3a^2-(a^2+b^2+c^2)= 2a^2-(b^2+c^2)= 2(b^2+c^2-2bc \cos 60) -b^2-c^2 }
\displaystyle{ = b^2+c^2-2bc = (b-c)^2}, και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης