Μεγιστοποίηση εμβαδού

#1

: Μέγιστο εμβαδόν 4.png (9.53 KiB) Προβλήθηκε 773 φορές

Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC

με υποτείνουσα BC=a.

Να εντοπίσετε σημείο

της πλευράς AC,

ώστε αν η

τέμνει τη διάμεσο

στο

να μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τριγώνου PEC.

Στη συνέχεια υπολογίστε

το μέγιστο αυτό εμβαδόν συναρτήσει του

KARKAR · #2

: max.png (11.26 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

Αν βρήκατε αυτό το αποτέλεσμα , είστε ΟΚ ! ( Καρτέσιος

)

#3

Εύχομαι Καλό Πάσχα σε όλους. Μέρες που είναι νηστεύουμε (οπότε αποφεύγουμε τις παραγώγους...).

: 06-04-2018 Γεωμετρία.jpg (28.59 KiB) Προβλήθηκε 744 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα με A(0,0), B(1, 0), C(0, 1), M(0,5 , 0,5)

, (οπότε $\displaystyle a = \sqrt 2$ , δηλαδή θεωρήσαμε ως μονάδα του συστήματος το $\displaystyle \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ ).

Έστω P(0,t), 0<t<1

.

Είναι $\displaystyle BT:\;\;y = - tx + t$ . Τέμνει την AM: y = x

στο $\displaystyle E\left( {\frac{t}{{1 + t}},\;\frac{t}{{1 + t}}} \right)$ .
$\displaystyle \left( {PEC} \right) = \frac{{PC \cdot d\left( {E,\;PC} \right)}}{2} = \frac{{\left( {1 - t} \right)\frac{t}{{1 + t}}}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{ - {t^2} + t}}{{\left( {1 + t} \right)}}$

Για 0<t<1

έστω $\displaystyle y = \frac{{ - {t^2} + t}}{{t + 1}} \Leftrightarrow yt + y = - {t^2} + t \Leftrightarrow {t^2} + \left( {y - 1} \right)t + y = 0$ .

Θέλουμε να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα, οπότε $\displaystyle {\left( {y - 1} \right)^2} - 4y \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} - 6y + 1 \ge 0 \Leftrightarrow y \le 3 - 2\sqrt 2 \;\;\; \vee \;\;y \ge 3 + 2\sqrt 2$

Όμως, πρέπει $\displaystyle 0 < t < 1$ .

Είναι $\displaystyle 0 < t < 1\;\;(1) \Leftrightarrow 1 < t + 1 < 2 \Leftrightarrow 1 < \frac{2}{{t + 1}} < 2\;\;\;\left( 2 \right)$

Πολλαπλασιάζοντας τις (1) και (2) έχουμε $\displaystyle 0 < \frac{{2t}}{{t + 1}} < 2\;\;\left( 3 \right)$

Επίσης $\displaystyle 0 < t < 1\;\;(1) \Leftrightarrow - 1 < - t < 0\;\;\;\left( 4 \right)$

Προσθέτοντας τις (3) και (4) έχουμε
$\displaystyle - 1 < \frac{{2t}}{{t + 1}} - t < 2 \Leftrightarrow - 2 < \frac{{ - {t^2} + t}}{{t + 1}} < 1 \Leftrightarrow - 2 < y < 1$ .

Βρήκαμε, έτσι άνω και κάτω φράγμα για την

, οπότε η περίπτωση $\displaystyle y \ge 3 + 2\sqrt 2$ απορρίπτεται.

Άρα η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι $\displaystyle {\left( {PEC} \right)_{\max }} = \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}$ με μονάδα μέτρησης $\displaystyle AB = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$ , οπότε, τελικά είναι $\displaystyle {\left( {PEC} \right)_{\max }} = \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2} \cdot \left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)$ .

Οπότε $\displaystyle P\left( {0,\;\frac{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)a}}{2}} \right)$ . Η

είναι διχοτόμος της γωνίας

.

KARKAR · #4

: max.png (18.83 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές

Το

προκύπτει ως τομή των $AC: y=-x+\dfrac{a}{2}$ και $BE: y=\dfrac{2k}{a}x+k$ .

Το εμβαδόν με χρήση των διανυσμάτων $\vec{EP} , \vec{EC}$ .

Η μεγιστοποίηση με χρήση παραγώγου . Όλα ανιαρά ... αλλά αποτελεσματικά .

#5

Καλή Ανάσταση σε όλους!

Η άσκηση κατασκευάστηκε με την παρατήρηση ότι, όταν η

είναι διχοτόμος, τότε PC=2EM.

Αν δούμε προσεκτικά το αποτέλεσμα που βρήκαν ο Θανάσης και ο Γιώργος θα διαπιστώσουμε ότι:

$\displaystyle {(PEC)_{\max }} = {\left( {\frac{a}{2}(\sqrt 2 - 1)} \right)^2} = E{M^2}$

Υπάρχουν πάντως και Ευκλείδειες λύσεις...

Μεγιστοποίηση εμβαδού

Μεγιστοποίηση εμβαδού

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση