Μεγιστοποίηση εμβαδού

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6763
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μεγιστοποίηση εμβαδού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 06, 2018 7:12 pm

Μέγιστο εμβαδόν 4.png
Μέγιστο εμβαδόν 4.png (9.53 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές
Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC με υποτείνουσα BC=a. Να εντοπίσετε σημείο P της πλευράς AC,

ώστε αν η BP τέμνει τη διάμεσο AM στο E, να μεγιστοποιείται το εμβαδόν του τριγώνου PEC. Στη συνέχεια υπολογίστε

το μέγιστο αυτό εμβαδόν συναρτήσει του a.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9717
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 06, 2018 7:58 pm

max.png
max.png (11.26 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές
Αν βρήκατε αυτό το αποτέλεσμα , είστε ΟΚ ! ( Καρτέσιος :oops: )


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4040
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Απρ 06, 2018 9:26 pm

Εύχομαι Καλό Πάσχα σε όλους. Μέρες που είναι νηστεύουμε (οπότε αποφεύγουμε τις παραγώγους...).


06-04-2018 Γεωμετρία.jpg
06-04-2018 Γεωμετρία.jpg (28.59 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές


Σε ορθοκανονικό σύστημα με A(0,0), B(1, 0), C(0, 1), M(0,5 , 0,5), (οπότε  \displaystyle a = \sqrt 2 , δηλαδή θεωρήσαμε ως μονάδα του συστήματος το  \displaystyle \frac{{a\sqrt 2 }}{2} ).

Έστω P(0,t), 0<t<1.

Είναι  \displaystyle BT:\;\;y =  - tx + t . Τέμνει την AM: y = x στο  \displaystyle E\left( {\frac{t}{{1 + t}},\;\frac{t}{{1 + t}}} \right) .
 \displaystyle \left( {PEC} \right) = \frac{{PC \cdot d\left( {E,\;PC} \right)}}{2} = \frac{{\left( {1 - t} \right)\frac{t}{{1 + t}}}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{ - {t^2} + t}}{{\left( {1 + t} \right)}}

Για 0<t<1 έστω  \displaystyle y = \frac{{ - {t^2} + t}}{{t + 1}} \Leftrightarrow yt + y =  - {t^2} + t \Leftrightarrow {t^2} + \left( {y - 1} \right)t + y = 0 .

Θέλουμε να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα, οπότε  \displaystyle {\left( {y - 1} \right)^2} - 4y \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} - 6y + 1 \ge 0 \Leftrightarrow y \le 3 - 2\sqrt 2 \;\;\; \vee \;\;y \ge 3 + 2\sqrt 2

Όμως, πρέπει  \displaystyle 0 < t < 1 .

Είναι  \displaystyle 0 < t < 1\;\;(1) \Leftrightarrow 1 < t + 1 < 2 \Leftrightarrow 1 < \frac{2}{{t + 1}} < 2\;\;\;\left( 2 \right)

Πολλαπλασιάζοντας τις (1) και (2) έχουμε  \displaystyle 0 < \frac{{2t}}{{t + 1}} < 2\;\;\left( 3 \right)

Επίσης  \displaystyle 0 < t < 1\;\;(1) \Leftrightarrow  - 1 <  - t < 0\;\;\;\left( 4 \right)

Προσθέτοντας τις (3) και (4) έχουμε
 \displaystyle  - 1 < \frac{{2t}}{{t + 1}} - t < 2 \Leftrightarrow  - 2 < \frac{{ - {t^2} + t}}{{t + 1}} < 1 \Leftrightarrow  - 2 < y < 1 .

Βρήκαμε, έτσι άνω και κάτω φράγμα για την y, οπότε η περίπτωση  \displaystyle y \ge 3 + 2\sqrt 2 απορρίπτεται.

Άρα η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι  \displaystyle {\left( {PEC} \right)_{\max }} = \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2} με μονάδα μέτρησης  \displaystyle AB = \frac{{\sqrt 2 a}}{2} , οπότε, τελικά είναι  \displaystyle {\left( {PEC} \right)_{\max }} = \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2} \cdot \left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right) .

Οπότε  \displaystyle P\left( {0,\;\frac{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)a}}{2}} \right) . Η PB είναι διχοτόμος της γωνίας B.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9717
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 06, 2018 11:13 pm

max.png
max.png (18.83 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
Το P προκύπτει ως τομή των AC: y=-x+\dfrac{a}{2} και BE: y=\dfrac{2k}{a}x+k .

Το εμβαδόν με χρήση των διανυσμάτων \vec{EP} , \vec{EC} .

Η μεγιστοποίηση με χρήση παραγώγου . Όλα ανιαρά ... αλλά αποτελεσματικά .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6763
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 07, 2018 1:08 pm

Καλή Ανάσταση σε όλους!

Η άσκηση κατασκευάστηκε με την παρατήρηση ότι, όταν η BP είναι διχοτόμος, τότε PC=2EM.

Αν δούμε προσεκτικά το αποτέλεσμα που βρήκαν ο Θανάσης και ο Γιώργος θα διαπιστώσουμε ότι:

\displaystyle {(PEC)_{\max }} = {\left( {\frac{a}{2}(\sqrt 2  - 1)} \right)^2} = E{M^2}

Υπάρχουν πάντως και Ευκλείδειες λύσεις...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες