Συντρέχουσες ευθείες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6725
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Συντρέχουσες ευθείες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 12, 2018 1:29 pm

Συντρέχουσες ευθείες..png
Συντρέχουσες ευθείες..png (19.9 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές
Έστω δύο παράλληλες χορδές AB, CD ενός κύκλου (O) και M το μέσο του AB (τα A, C προς το ίδιο μέρος της

ευθείας OM). Οι CM, DM επανατέμνουν τον κύκλο στα σημεία H, E αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι CE, DH και

οι εφαπτόμενες του κύκλου στα A, B διέρχονται από το ίδιο σημείο P.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3776
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συντρέχουσες ευθείες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μαρ 14, 2018 4:13 pm

george visvikis έγραψε:
Δευ Μαρ 12, 2018 1:29 pm
Συντρέχουσες ευθείες..png
Έστω δύο παράλληλες χορδές AB, CD ενός κύκλου (O) και M το μέσο του AB (τα A, C προς το ίδιο μέρος της ευθείας OM). Οι CM, DM επανατέμνουν τον κύκλο στα σημεία H, E αντίστοιχα. Να δείξετε ότι οι CE, DH και οι εφαπτόμενες του κύκλου στα A, B διέρχονται από το ίδιο σημείο P.
Συντρέχουσες ευθειες.png
Συντρέχουσες ευθειες.png (30.95 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές
Με M το μέσο της χορδής AB \Rightarrow OM \bot AB\mathop  \Rightarrow \limits^{CD\parallel AB} OM \bot CD\mathop  \Rightarrow \limits^{CD\,\,\chi o\rho \delta \eta } OM μεσοκάθετη της CD και έστω K\equiv OM\cap CD .

Τότε MC = MD \Rightarrow \angle HCM \equiv \angle MCD = \angle MDC \equiv \angle EMC \Rightarrow \tau o\xi .HD = \tau o\xi .EC \Rightarrow EH\parallel CD\parallel AB οπότε το CEHD είναι ισοσκελές τραπέζιο και

OM\mathop  \bot \limits^{AB\parallel EH} EH συνεπώς αν L\equiv OM\cap EH (προφανώς L το μέσο της EH ) , προκύπτει ότι P\equiv CE\cap KML\cap DH και ας είναι {A}'\equiv PC\cap AB,{B}'\equiv PD\cap AB .

Από το πλήρες τετράπλευρο PEMHCD προκύπτει ότι η σειρά \left( P,L,M,K \right) είναι αρμονική και με EH\parallel {A}'{B}'\parallel CD προκύπτει ότι και οι σειρές

\left( P,E,{A}',C \right),\left( P,H,{B}',D \right) είναι αρμονικές , άρα τα {A}',{B}' ανήκουν στην πολική του P ως προς τον κύκλο \left( O \right) , συνεπώς η {A}'{B}'\equiv AB είναι η πολική του

P ως προς τον κύκλο \left( O \right) και με A,B\in \left( O \right) προκύπτει ότι οι εφαπτόμενες του \left( O \right) στα A,B διέρχονται από το P και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
giannimani
Δημοσιεύσεις: 80
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συντρέχουσες ευθείες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Τετ Μαρ 14, 2018 11:40 pm

symmath1.png
symmath1.png (39.8 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές
Έστω P το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου (O) στα σημεία του A και B. Για να αποδείξουμε ότι οι ευθείες CH και DE διέρχονται επίσης από το P, αρκεί να αποδείξουμε ότι αυτές είναι συμμετροδιάμεσοι των τριγώνων CAB και DAB αντίστοιχα.
Συμβολίζουμε με K το σημείο του κύκλου (O) στο οποίο τέμνονται οι διχοτόμοι των γωνιών ACB και ADB (εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι \angle HCK =\angle KCM και \angle EDK = \angle KDM (ορισμός συμμετροδιαμέσου).
Οι παραπάνω γωνιακές ισότητες προκύπτουν εύκολα, εφόσον η διακεντρική ευθεία OP είναι άξονας συμμετρίας (το \vartriangle PAB είναι ισοσκελές, και οι χορδές AB και CD είναι παράλληλες).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6725
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συντρέχουσες ευθείες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 16, 2018 5:43 pm

Αφού ευχαριστήσω τον Στάθη και τον giannimani για τις απαντήσεις τους, θα δώσω την προσέγγισή μου.
Συντρέχουσες ευθείες.ΙΙ.png
Συντρέχουσες ευθείες.ΙΙ.png (24.56 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές
Οι CE, DH τέμνονται σε ένα σημείο P πάνω στη μεσοκάθετο του AB. Αρκεί να δείξω ότι η PA εφάπτεται στον κύκλο.

O\widehat CE = O\widehat {E}C = {90^0} - \theta  = {90^0} - D\widehat MB = O\widehat MD, άρα το OMEC είναι εγγράψιμο.

PM \cdot PO = PE \cdot PC = P{O^2} - {R^2} = P{O^2} - O{A^2} \Leftrightarrow

O{A^2} = P{O^2} - PO \cdot PM = (PO - PM)PO \Leftrightarrow O{A^2} = OM \cdot OP \Leftrightarrow OA \bot AP και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης