Έξοχη ισότητα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9676
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Έξοχη ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μαρ 11, 2018 8:09 pm

Έξοχη  ισότητα.png
Έξοχη ισότητα.png (9.5 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές
Στο εσωτερικό του τεταρτοκυκλικού τομέα O\overset{\frown}{AB} , βρίσκεται σημείο S .

Εντοπίστε σημείο P στην προέκταση της ακτίνας OA , ώστε αν το PQ

είναι το εφαπτόμενο τμήμα , να είναι : PQ=PS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5744
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Έξοχη ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μαρ 11, 2018 9:28 pm

Ας είναι K η προβολή του S στην OA. Τότε είναι σταθερά :

\boxed{OK = a\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,KS = b}\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 < a,b < R Θέτω PA = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KA = R - a = m.

¨εξοχη ισότητητα_ok.png
¨εξοχη ισότητητα_ok.png (17.62 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές
Θα ισχύουν : \left\{ \begin{gathered} 
  P{S^2} = P{Q^2} = PA(PA + 2R) \hfill \\ 
  P{S^2} = P{K^2} + K{S^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  P{S^2} = x(x + 2R) \hfill \\ 
  P{S^2} = {(m + x)^2} + {b^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και άρα :


x(x + 2R) = {(x + m)^2} + {b^2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{{{(R - a)}^2} + {b^2}}}{{2a}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6716
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Έξοχη ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 12, 2018 6:25 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μαρ 11, 2018 8:09 pm
Έξοχη ισότητα.pngΣτο εσωτερικό του τεταρτοκυκλικού τομέα O\overset{\frown}{AB} , βρίσκεται σημείο S .

Εντοπίστε σημείο P στην προέκταση της ακτίνας OA , ώστε αν το PQ

είναι το εφαπτόμενο τμήμα , να είναι : PQ=PS .
Με τις συντεταγμένες του σχήματος.
Έξοχη ισότητα.png
Έξοχη ισότητα.png (12.21 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
\displaystyle {x^2} - {R^2} = P{Q^2} = P{S^2} = {(x - a)^2} + {b^2} \Leftrightarrow \boxed{x =OP= \frac{{{a^2} + {b^2} + {R^2}}}{{2a}}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9676
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Έξοχη ισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μαρ 13, 2018 7:59 pm

Έξοχη  ισότητα.png
Έξοχη ισότητα.png (14.65 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές
Κάπως δυσκολότερα αλλά χρησιμοποιώντας μόνο το OS=d : Έστω ότι

το σχήμα κατασκευάστηκε . Από το P φέρω PT κάθετο στην ευθεία OS .

Επειδή : PS^2=PQ^2=PO^2-R^2 είναι :

ST^2=PS^2-PT^2=PO^2-PT^2-R^2=OT^2-R^2 ,

δηλαδή : (x+R-d)^2=(R+x)^2-R^2\Leftrightarrow x=\dfrac{(R-d)^2}{2d} .

Στην προέκταση λοιπόν της ακτίνας OSC , θεωρούμε τμήμα CT , μήκους x .

Η κάθετη της OS στο T , τέμνει την OA στο ζητούμενο σημείο P .

Με γνωστά τα R,d , πώς θα κατασκευάσουμε το τμήμα x=\dfrac{(R-d)^2}{2d} ;


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5744
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Έξοχη ισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μαρ 13, 2018 11:00 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μαρ 13, 2018 7:59 pm
Έξοχη ισότητα.pngΚάπως δυσκολότερα αλλά χρησιμοποιώντας μόνο το OS=d : Έστω ότι

το σχήμα κατασκευάστηκε . Από το P φέρω PT κάθετο στην ευθεία OS .

Επειδή : PS^2=PQ^2=PO^2-R^2 είναι :

ST^2=PS^2-PT^2=PO^2-PT^2-R^2=OT^2-R^2 ,

δηλαδή : (x+R-d)^2=(R+x)^2-R^2\Leftrightarrow x=\dfrac{(R-d)^2}{2d} .

Στην προέκταση λοιπόν της ακτίνας OSC , θεωρούμε τμήμα CT , μήκους x .

Η κάθετη της OS στο T , τέμνει την OA στο ζητούμενο σημείο P .

Με γνωστά τα R,d , πώς θα κατασκευάσουμε το τμήμα x=\dfrac{(R-d)^2}{2d} ;
Κατασκευή_χατήρι του Θανάση.png
Κατασκευή_χατήρι του Θανάση.png (25.92 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές

Στην εφαπτομένη στο C θεωρώ σημείο D , έτσι ώστε CD = SC.

Στην ημιευθεία CS θεωρώ σημείο E , έτσι ώστε CE = 2OS = 2d.

Η κάθετη στο D επί την DE τέμνει την ευθεία OS στο T.

Το \boxed{CT = x = \frac{{{{(R - d)}^2}}}{{2d}}}.

Πράγματι επειδή D{C^2} = CE \cdot CT \Rightarrow {(R - d)^2} = 2dx.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες