Ένας ακόμη λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12525
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ένας ακόμη λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 08, 2018 10:44 am

Ένας  ακόμη λόγος.png
Ένας ακόμη λόγος.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές
Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD το ACD είναι ισόπλευρο , πλευράς a , ενώ BC=b.

Η ευθεία η οποία διέρχεται από το μέσο M της CD και το σημείο τομής των διαγωνίων O , τέμνει

την άγνωστη πλευρά AB στο σημείο S . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AS}{SB} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7892
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ένας ακόμη λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μαρ 08, 2018 12:23 pm

Ενας ακόμη λόγος.png
Ενας ακόμη λόγος.png (40.52 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές
Λιτά αλλά στη διάθεση για κάθε διευκρίνηση .

Από Θ Μενελάου στο \vartriangle ECD με διατέμνουσα \overline {OTM} και λόγω Θ. δέσμης έχω :

\dfrac{{OD}}{{OE}} = \dfrac{{TC}}{{TE}} = \dfrac{{AS}}{{SB}}\,\,\,(1).

Απο την ομοιότητα των τριγώνων OCE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OAB και Θ, συνημιτόνου στο \vartriangle ECD προκύπτει :

\boxed{OE = \frac{{{b^2}}}{{b + u}} \Rightarrow \frac{{OD}}{{OE}} = \frac{{{b^2} + {u^2} + ub}}{{{b^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{AS}}{{SB}}}



Το θέμα πιστεύω αντιμετωπίζεται και με συμμετροδιάμεσο.

Πράγματι :


Αφού στις αντιπαράλληλες CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB το M είναι μέσο του CD η OS είναι συμμετροδιάμεσος του \vartriangle OAB,

Αλλά, \displaystyle \vartriangle OAB \approx \vartriangle OCE \approx \vartriangle ODC και άρα διαδοχικά έχω :

\boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{O{A^2}}}{{O{B^2}}} = \frac{{O{C^2}}}{{O{E^2}}} = \frac{{C{D^2}}}{{C{E^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10436
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ένας ακόμη λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 08, 2018 1:51 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 08, 2018 10:44 am
Ένας ακόμη λόγος.pngΣτο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD το ACD είναι ισόπλευρο , πλευράς a , ενώ BC=b.

Η ευθεία η οποία διέρχεται από το μέσο M της CD και το σημείο τομής των διαγωνίων O , τέμνει

την άγνωστη πλευρά AB στο σημείο S . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AS}{SB} .

Το ισόπλευρο τρίγωνο δεν παίζει κανένα ρόλο. Ο λόγος είναι γενικά \displaystyle \frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{A{D^2}}}{{B{C^2}}} για οποιοδήποτε τρίγωνο ACD. Η απόδειξη το απογευματάκι με στοιχειώδη γεωμετρία B' Λυκείου.

Άρση απόκρυψης.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10436
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ένας ακόμη λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 08, 2018 3:46 pm

Για τυχαίο εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD με AD=a, BC=b.
Ένας ακόμη λόγος.png
Ένας ακόμη λόγος.png (12 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές
\displaystyle \frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{(OAS)}}{{(OBS)}} = \frac{{(OAS)/(OCM)}}{{(OBS)/(OMD)}} = \frac{{OS \cdot OA/OC \cdot OM}}{{OS \cdot OB/OM \cdot OD}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{OA \cdot OD}}{{OB \cdot OC}}} (1)

Αλλά, \displaystyle OA \cdot OC = OB \cdot OD \Leftrightarrow OA = \frac{{OB \cdot OD}}{{OC}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{O{D^2}}}{{O{C^2}}}

και από την ομοιότητα των τριγώνων OAD, OBC: \boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7892
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ένας ακόμη λόγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μαρ 08, 2018 4:06 pm

Πολλή ωραία λύση Γιώργο. :coolspeak:

Στην ημετέρα λύση πιο πάνω με τη χρήση της συμμετροδιαμέσου φαίνεται ότι δεν απαιτείται το τρίγωνο ABC νά είναι ισόπλευρο .

Είναι αρκετό να φέρω την παράλληλη από το C στην AB που κόβει την BD στο E .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12525
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ένας ακόμη λόγος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Μαρ 08, 2018 6:56 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Μαρ 08, 2018 4:06 pm
Πολλή ωραία λύση Γιώργο. :coolspeak:
Νίκο , το "πολύ ωραία λύση" είναι μάλλον φτωχό !

Βρίσκω ότι στη λύση αυτή υπάρχει "θεία" έμπνευση :clap2: :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης