Μας κύκλωσαν

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12639
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μας κύκλωσαν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 05, 2018 1:34 pm

Μας  κύκλωσαν.png
Μας κύκλωσαν.png (14.31 KiB) Προβλήθηκε 520 φορές
Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , προεκτείνω την BA κατά τμήμα AD=\dfrac{BA}{2} .

Ονομάζω M,N τα μέσα των AC,DC αντίστοιχα . Η BN τέμνει

την AC στο S , ενώ η προέκταση της BM τέμνει την DC στο P .

Δείξτε ότι το τμήμα SP είναι παράλληλο με την BC και ισούται με \dfrac{a}{5} .

Αν επιπλέον είναι :  \hat{B}=75^0 , \hat{C}=45^0 , υπολογίστε τη γωνία \hat{D}

και δείξτε ότι τα σημεία M,P,N,S είναι ομοκυκλικά .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μας κύκλωσαν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μαρ 05, 2018 5:36 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 05, 2018 1:34 pm
Μας κύκλωσαν.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , προεκτείνω την BA κατά τμήμα AD=\dfrac{BA}{2} .

Ονομάζω M,N τα μέσα των AC,DC αντίστοιχα . Η BN τέμνει

την AC στο S , ενώ η προέκταση της BM τέμνει την DC στο P .

Δείξτε ότι το τμήμα SP είναι παράλληλο με την BC και ισούται με \dfrac{a}{5} .

Αν επιπλέον είναι :  \hat{B}=75^0 , \hat{C}=45^0 , υπολογίστε τη γωνία \hat{D}

και δείξτε ότι τα σημεία M,P,N,S είναι ομοκυκλικά .
Μας κύκλωσαν.png
Μας κύκλωσαν.png (14.73 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές
α) \displaystyle MN||AB \Leftrightarrow \frac{{NS}}{{SB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{NS}}{{NB}} = \frac{1}{5}} (1)

\displaystyle MN||BD \Leftrightarrow \frac{{PM}}{{PB}} = \frac{{PN}}{{PD}} = \frac{{MN}}{{BD}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \boxed{\frac{{PN}}{{ND}} = \frac{{PN}}{{NC}} = \frac{1}{5}} (2)

Από (1), (2) προκύπτει άμεσα ότι \boxed{SP||BC} και \boxed{SP=\frac{a}{5}}

β) Από νόμο ημιτόνων, \displaystyle \frac{a}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{c}{{\sin {{45}^0}}} \Leftrightarrow 2{a^2} = 3{c^2} \Leftrightarrow {a^2} = c\left( {c + \frac{c}{2}} \right) \Leftrightarrow B{C^2} = BA \cdot BD

Άρα η BC εφάπτεται στον περίκυκλο του DAC, οπότε \boxed{\widehat D=45^0} και\displaystyle M\widehat NC = \widehat D = {45^0} = \widehat C = P\widehat SM,

απ' όπου έπεται η εγγραψιμότητα του MPNS.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2093
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Μας κύκλωσαν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Μαρ 09, 2018 1:32 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 05, 2018 1:34 pm
Μας κύκλωσαν.pngΣτο τρίγωνο \displaystyle ABC , προεκτείνω την BA κατά τμήμα AD=\dfrac{BA}{2} .

Ονομάζω M,N τα μέσα των AC,DC αντίστοιχα . Η BN τέμνει

την AC στο S , ενώ η προέκταση της BM τέμνει την DC στο P .

Δείξτε ότι το τμήμα SP είναι παράλληλο με την BC και ισούται με \dfrac{a}{5} .

Αν επιπλέον είναι :  \hat{B}=75^0 , \hat{C}=45^0 , υπολογίστε τη γωνία \hat{D}

και δείξτε ότι τα σημεία M,P,N,S είναι ομοκυκλικά .
Από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο ADC με τέμνουσα ΒΣΝ




\dfrac{SC}{AS}.\dfrac{BA}{BD}.\dfrac{DN}{NC}=1




\Leftrightarrow \dfrac{SC}{AS}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{3}{2},



Ομοίως στο τρίγωνο

ADC,\dfrac{MC}{AM}.\dfrac{AB}{BD}.\dfrac{DP}{PC}=1\Leftrightarrow \dfrac{DP}

{PC}=\dfrac{3}{2}

Ομοίως στο τρίγωνο BDN

με τέμνουσα

ASC,\dfrac{BS}{SN}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=1


\Leftrightarrow \dfrac{BS}{SN}=4\Leftrightarrow \dfrac{NS}{NB}=\dfrac{1}{5}, \dfrac{2NC-PC}{PC}=


\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \dfrac{NP}{NC}=\dfrac{1}{5}

Οπότε \dfrac{NS}{NB}=\dfrac{NP}{NC}=\dfrac{1}{5}=\dfrac{SP}{a},SP//BC,SP=\dfrac{a}{5}

Στο δευτερο ερώτημα με το νόμο των ημιτόνων,εχει απαντήση ο Γιώργος




Γιάννης
Συνημμένα
Μας κύκλωσαν.png
Μας κύκλωσαν.png (76.8 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης