Ομοκυκλικά σημεία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ομοκυκλικά σημεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm

Ομοκυκλικά σημεία..png
Ομοκυκλικά σημεία..png (9.21 KiB) Προβλήθηκε 1215 φορές
Έστω H το ορθόκεντρο τριγώνου ABC, M μέσο του BC και N μέσο του AH. Από το M φέρνω κάθετη στη

MN που τέμνει τις AC, AB στα D, E αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία B, E, C, D είναι ομοκυκλικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Κώστας Παππέλης
Δημοσιεύσεις: 261
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κώστας Παππέλης » Σάβ Μαρ 03, 2018 7:58 pm

Η DE είναι κάθετη στην AA' όπου A' το αντιδιαμετρικό του A, διότι το A' είναι ως γνωστόν το συμμετρικό του H ως προς το M. Άρα η DE είναι παράλληλη στην εφαπτόμενη από το A. Συνεπώς από εντός εναλλάξ τα ABC, ADE είναι όμοια με επακόλουθο το συμπέρασμα εγγραψιμότητας.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 03, 2018 8:20 pm

Κώστας Παππέλης έγραψε:
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:58 pm
Η DE είναι κάθετη στην AA' όπου A' το αντιδιαμετρικό του A, διότι το A' είναι ως γνωστόν το συμμετρικό του H ως προς το M. Άρα η DE είναι παράλληλη στην εφαπτόμενη από το A. Συνεπώς από εντός εναλλάξ τα ABC, ADE είναι όμοια με επακόλουθο το συμπέρασμα εγγραψιμότητας.
:clap2: :clap2:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7978
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μαρ 04, 2018 9:57 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm
Ομοκυκλικά σημεία..png
Έστω H το ορθόκεντρο τριγώνου ABC, M μέσο του BC και N μέσο του AH. Από το M φέρνω κάθετη στη

MN που τέμνει τις AC, AB στα D, E αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία B, E, C, D είναι ομοκυκλικά.
Ομοκυκλικά σημεία_1.png
Ομοκυκλικά σημεία_1.png (37.62 KiB) Προβλήθηκε 1136 φορές

Ας είναι O το κέντρο του κύκλου (A,B,C) και OK το απόστημα προς την AB .

Το τετράπλευρο ANMO είναι παραλληλόγραμμο αφού OM// = AN. Έτσι διαδοχικά έχουμε:

\widehat C = \widehat {{\theta _1}} ( Η εγγεγραμμένη είναι το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης)

\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} ( αφού AO//NM) και

\widehat {{\theta _2}} = \widehat E ( αφού το τετράπλευρο TKEM είναι προφανώς εγγράψιμο, όπου T \to \{ KO \cap MN\} )

Άρα \boxed{\widehat C = \widehat E} που μας εξασφαλίζει το ζητούμενο .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 04, 2018 10:50 am

Doloros έγραψε:
Κυρ Μαρ 04, 2018 9:57 am
george visvikis έγραψε:
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm
Ομοκυκλικά σημεία..png
Έστω H το ορθόκεντρο τριγώνου ABC, M μέσο του BC και N μέσο του AH. Από το M φέρνω κάθετη στη

MN που τέμνει τις AC, AB στα D, E αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία B, E, C, D είναι ομοκυκλικά.
Ομοκυκλικά σημεία_1.png


Ας είναι O το κέντρο του κύκλου (A,B,C) και OK το απόστημα προς την AB .

Το τετράπλευρο ANMO είναι παραλληλόγραμμο αφού OM// = AN. Έτσι διαδοχικά έχουμε:

\widehat C = \widehat {{\theta _1}} ( Η εγγεγραμμένη είναι το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης)

\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} ( αφού AO//NM) και

\widehat {{\theta _2}} = \widehat E ( αφού το τετράπλευρο TKEM είναι προφανώς εγγράψιμο, όπου T \to \{ KO \cap MN\} )

Άρα \boxed{\widehat C = \widehat E} που μας εξασφαλίζει το ζητούμενο .
Επίσης πολύ ωραία λύση! :10sta10:


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2093
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Κυρ Μαρ 04, 2018 11:51 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm
Ομοκυκλικά σημεία..png
Έστω H το ορθόκεντρο τριγώνου ABC, M μέσο του BC και N μέσο του AH. Από το M φέρνω κάθετη στη

MN που τέμνει τις AC, AB στα D, E αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία B, E, C, D είναι ομοκυκλικά.
Καλημέρα

H MN είναι μεσοκάθετος στην ST γιατί απο τα ορθογώνια τρίγωνα BTC,BSC,AHS,AHT , TN=NS=HN=NA,TM=MB=MC=MS
Οπότε TS//ED,\hat{ATS}=\hat{AED},(1)
Απο το εγράψιμο τετράπλευρο TSCB,\hat{ATS}=\hat{ACB},(2), (1),(2)\Rightarrow \hat{BCA}=\hat{BED}
συνεπώς τα σημεία B,E,C,D
είναι ομκυκλικά



Γιάννης


Το σχήμα ομοκυκλικά σημεία (α) εχει τα γράμματα που αντιστοιχούν στην εκφώνηση της άσκησης
Συνημμένα
Ομοκυκλικά σημεία (α).png
Ομοκυκλικά σημεία (α).png (76.87 KiB) Προβλήθηκε 1100 φορές
Ομοκυκλικά σημεία.png
Ομοκυκλικά σημεία.png (101.26 KiB) Προβλήθηκε 1116 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μαρ 04, 2018 1:32 pm

STOPJOHN έγραψε:
Κυρ Μαρ 04, 2018 11:51 am
george visvikis έγραψε:
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm
Ομοκυκλικά σημεία..png
Έστω H το ορθόκεντρο τριγώνου ABC, M μέσο του BC και N μέσο του AH. Από το M φέρνω κάθετη στη

MN που τέμνει τις AC, AB στα D, E αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία B, E, C, D είναι ομοκυκλικά.
Καλημέρα

H MN είναι μεσοκάθετος στην ST γιατί απο τα ορθογώνια τρίγωνα BTC,BSC,AHS,AHT , TN=NS=HN=NA,TM=MB=MC=MS
Οπότε TS//ED,\hat{ATS}=\hat{AED},(1)
Απο το εγράψιμο τετράπλευρο TSCB,\hat{ATS}=\hat{ACB},(2), (1),(2)\Rightarrow \hat{BCA}=\hat{BED}
συνεπώς τα σημεία B,E,C,D
είναι ομκυκλικά



Γιάννης


Το σχήμα ομοκυκλικά σημεία (α) εχει τα γράμματα που αντιστοιχούν στην εκφώνηση της άσκησης
Και μία ΘΡΥΛΙΚΗ λύση :clap: :clap:


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4102
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μαρ 04, 2018 1:55 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm
Ομοκυκλικά σημεία..pngΈστω H το ορθόκεντρο τριγώνου ABC, M μέσο του BC και N μέσο του AH. Από το M φέρνω κάθετη στη MN που τέμνει τις AC, AB στα D, E αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία B, E, C, D είναι ομοκυκλικά.
Άντε και εγώ τελευταίος και καταϊδρωμένος
ομοκυκλικά σημεία.png
ομοκυκλικά σημεία.png (32.2 KiB) Προβλήθηκε 1091 φορές
Έστω K,F και L,S οι ορθές προβολές των N,M στις AB,AC αντίστοιχα. Με N,M τα μέσα των AH,BC αντίστοιχα και από NK\parallel C{C}'\parallel ML,NF\parallel B{B}'\parallel MS προκύπτει ότι: KL=\dfrac{AB}{2},FS=\dfrac{AC}{2}:\left( 1 \right) .

Με NM\bot ED σύμφωνα με το
Stathis Koutras Theorem προκύπτει ότι: \dfrac{KL}{FS}=\dfrac{AD}{AE}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\Rightarrow AB\cdot AE=AD\cdot AC\Rightarrow B,E,C,D ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1442
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Μαρ 05, 2018 12:27 am

Χαιρετώ όλη την παρέα ! Παραλλαγή με χρήση του σχήματος
4-3-18 Ομοκυκλικά.PNG
4-3-18 Ομοκυκλικά.PNG (12.37 KiB) Προβλήθηκε 1030 φορές
Το AI ύψος του ABC , έτσι τα  M,I,N είναι τα 3 από τα 9 σημεία του κύκλου του Euler
ο οποίος περνά και από το μέσον L του AB.

Η MN διάμετρος άρα EMD εφαπτομένη του κύκλου οπότε \widehat{ILM}=\widehat{BME}=\theta (χορδής-εφαπτομένης με εγγεγραμμένη).

Ακόμη LM \parallel  AC \Rightarrow  \widehat{LMB}=\widehat{ACB}=\omega και IL=LB (διάμεσος προς υποτείνουσα)

Έχουμε λοιπόν \varphi +\theta =\widehat{LBI}=\widehat{LIB}=\omega +\theta \Rightarrow \varphi =\omega ή \widehat{BED}=\widehat{BCD} που μας οδηγεί στο ζητούμενο.

Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2091
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Δευ Μαρ 05, 2018 9:59 am

Χρησιμοποιώ το σχήμα του Νίκου ( Doloros ), πιο πάνω ( 4η δημοσίευση ).

\bullet Από OM\parallel = AN\Rightarrow AO\parallel = NM\ \ \ ,(1)

Από (1) και NM\perp DE\Rightarrow AO\perp DE\ \ \ ,(2)

Από (2), σύμφωνα με το Θεώρημα Nagel, συμπεραίνεται ότι το τετράπλευρο BECD είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί. (*)

(*) Οι ευθείες BC,\ DE, ως κάθετες επί των ευθειών AN,\ AO αντιστοίχως, έχουν διευθύνσεις συμμετρικές ως προς την διχoτόμο της γωνίας \angle A, γιατί οι ευθείες AN,\ AO είναι ισογώνιες ως προς την \angle A. Χαρακτηριστική ιδιότητα των αντιπαράλληλων ευθειών είναι ότι τέμνουν της ευθείες της γωνίας \angle A ( ως προς τις οποίες είναι αντιπαράλληλες ), σε ομοκυκλικά σημεία ( απόδειξη εύκολη ).
f=178_t=61171.png
Ομοκυκλικά σημεία.
f=178_t=61171.png (25.5 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές
Το Θεώρημα Nagel που αναφέρεται πιο πάνω, είναι γνωστό από την βιβλιογραφία και η απόδειξή του είναι εύκολη, θεωρώντας την εφαπτομένη του περικύκλου (O) του δοσμένου τριγώνου \vartriangle ABC.

Κώστας Βήττας.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2072
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μαρ 05, 2018 10:27 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Μαρ 03, 2018 7:45 pm
Ομοκυκλικά σημεία..png
Έστω H το ορθόκεντρο τριγώνου ABC, M μέσο του BC και N μέσο του AH. Από το M φέρνω κάθετη στη

MN που τέμνει τις AC, AB στα D, E αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία B, E, C, D είναι ομοκυκλικά.

Το τετράπλευρο \displaystyle TPEM είναι εγγράψιμο,άρα οι γωνίες \displaystyle \omega είναι ίσες

Με \displaystyle Z μέσον της \displaystyle AC\displaystyle  \Rightarrow NZ//CP και \displaystyle ZM//AB άρα \displaystyle NZ \bot ZM

Έτσι το \displaystyle NZMS είναι εγγράψιμο ,οπότε οι γωνίες \displaystyle x είναι ίσες

Άρα \displaystyle \angle x = \angle \omega \displaystyle  \Rightarrow BECD εγγράψιμο
ομοκυκλικά.png
ομοκυκλικά.png (15.98 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10560
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μαρ 06, 2018 10:30 am

Τοποθετήθηκα ήδη στις λύσεις των Κώστα Παππέλη, Νίκου και Γιάννη. Να ευχαριστήσω λοιπόν ακόμα τους Στάθη, Γιώργο,

Κώστα Βήττα και Μιχάλη
για την ενασχόλησή τους με το θέμα και να :clap2: τις λύσεις τους. Νιώθω πάντα ιδιαίτερη χαρά κάθε

φορά που η Dream Team της Γεωμετρίας ασχολείται με προτεινόμενο θέμα μου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης