Καθετότητα στο Μέσο
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Καθετότητα στο Μέσο
Δίνεται εγγράψιμο τετράπλευρο . Προεκτείνουμε τις κατά τμήματα αντίστοιχα. Να αποδειξετε ότι , όπου το μέσο της .
Μέχρι τον νέο μήνα για μαθητές.
Μέχρι τον νέο μήνα για μαθητές.
Λέξεις Κλειδιά:
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Καθετότητα στο Μέσο
Έστω και τα συμμετρικά του και του προς τα και αντίστοιχα. Έστω το μέσο του .
Παρατηρούμε πως στο τετράπλευρο τα είναι τα μέσα των πλευρών, επομένως το είναι παραλληλόγραμμο. Με άλλα λόγια είναι και (*) και (1).
Ταυτόχρονα είναι και (2).
Ακόμη ξέρουμε πως .
Ξέρουμε παρόλα αυτά πως λόγω του εγγραψίμου.
Συνεπώς είναι (3)
Θέλουμε να αποδείξουμε πως τα τρίγωνα () και () αποτελούν ζευγάρια ίσων τριγώνων (αν δεν είναι τα τρίγωνα του ενός ζευγαριού ίσα, τότε δεν είναι και στο άλλο καθώς θα ήταν ).
Πράγματι έστω πως αυτά δεν είναι ίσα.
Επιλέγουμε ένα σημείο έτσι ώστε και και (αυτό μπορούμε να το κάνουμε σύμφωνα με τη σχέση (3)) και το να είναι στο άλλο ημιεπίπεδο από το ως προς την .
Τώρα σε συνδυασμό με τη σχέση (2) παίρνουμε πως τα τρίγωνα και αποτελούν ζευγάρια ίσων τριγώνων.
Επομένως χρησιμοποιώντας και την (*) είναι και .
Θεωρούμε τους κύκλους και . Αυτοί σύμφωνα με την παραπάνω σχέση τέμνονται στο και στο . Όμως αφού και το και το ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την έχουμε άτοπο.
Επομένως .
Πράγματι λοιπόν τα τρίγωνα και αποτελούν ζευγάρια ίσων τριγώνων.
Επομένως χρησιμοποιώντας και την (1) έχουμε ότι:
Άρα .
Houston, we have a problem!
Re: Καθετότητα στο Μέσο
Ευχαριστώ για την λύση Διονύση. Νομίζω πως φτάνουμε πιο εύκολα στην λύση θεωρώντας το συμμετρικό του ως προς το .Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Δευ Φεβ 26, 2018 11:03 pmΚαθετότητα στο Μέσο.png
Καταρχάς είναι προφανές πως το βρίσκεται στο διαφορετικό ημιεπίπεδο από το ως προς την .
Έστω και τα συμμετρικά του και του προς τα και αντίστοιχα. Έστω το μέσο του .
Παρατηρούμε πως στο τετράπλευρο τα είναι τα μέσα των πλευρών, επομένως το είναι παραλληλόγραμμο. Με άλλα λόγια είναι και (*) και (1).
Ταυτόχρονα είναι και (2).
Ακόμη ξέρουμε πως .
Ξέρουμε παρόλα αυτά πως λόγω του εγγραψίμου.
Συνεπώς είναι (3)
Θέλουμε να αποδείξουμε πως τα τρίγωνα () και () αποτελούν ζευγάρια ίσων τριγώνων (αν δεν είναι τα τρίγωνα του ενός ζευγαριού ίσα, τότε δεν είναι και στο άλλο καθώς θα ήταν ).
Πράγματι έστω πως αυτά δεν είναι ίσα.
Επιλέγουμε ένα σημείο έτσι ώστε και και (αυτό μπορούμε να το κάνουμε σύμφωνα με τη σχέση (3)) και το να είναι στο άλλο ημιεπίπεδο από το ως προς την .
Τώρα σε συνδυασμό με τη σχέση (2) παίρνουμε πως τα τρίγωνα και αποτελούν ζευγάρια ίσων τριγώνων.
Επομένως χρησιμοποιώντας και την (*) είναι και .
Θεωρούμε τους κύκλους και . Αυτοί σύμφωνα με την παραπάνω σχέση τέμνονται στο και στο . Όμως αφού και το και το ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την έχουμε άτοπο.
Επομένως .
Πράγματι λοιπόν τα τρίγωνα και αποτελούν ζευγάρια ίσων τριγώνων.
Επομένως χρησιμοποιώντας και την (1) έχουμε ότι:
Άρα .
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Καθετότητα στο Μέσο
Πράγματι αν θεωρήσουμε το συμμετρικό του ως προς το η λύση απλοποιείται κατά πολύ.
Αφήνω να την γράψει μαθητής .
Τρεις γραμμές είναι.
Αφήνω να την γράψει μαθητής .
Τρεις γραμμές είναι.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες