Εγγράψιμο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Εγγράψιμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Φεβ 06, 2018 11:58 pm

Έστω κυρτό τετράπλευρο ABCD και K το σημείο τομής των διαγωνίων του AC και BD. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων AKD και BKC, c_1 και c_2 αντίστοιχα, τέμνονται ξανά στο S. Έστω M και N τα μέσα των AC και BD. Να αποδειχθεί πως το KMSN είναι εγγράψιμο σε κύκλο, του οποίου το κέντρο είναι το μέσο της διακέντρου των κύκλων c_1 και c_2.
Εγγράψιμο.png
Εγγράψιμο.png (33.55 KiB) Προβλήθηκε 601 φορές


Houston, we have a problem!

Λέξεις Κλειδιά:
min##
Δημοσιεύσεις: 52
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Εγγράψιμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τετ Φεβ 07, 2018 7:02 pm

Το DSB με κατάλληλη στροφή και ομοιοθεσία μπορεί να μετασχηματιστεί στοASC.Είναι φανερό ότι αυτός ο μετασχηματισμός διατηρεί τον λόγο στον οποίο τοN χωρίζει την DB,και συνεπώς στέλνει το N στο M.Αυτό σημαίνει ότι το DSN πάει στο ASM και επειδή οι γωνίες διατηρούνται,αποδεικνύεται το πρώτο ζητούμενο.Για το δεύτερο, βλέπουμε ότι υπάρχει (μοναδικός) μετασχηματισμός (ίδιου τύπου με παραπάνω) που στέλνει το κέντρο του μπλε στο N και το κέντρο του δεξιού στο B.Ομοίως, υπάρχει μετασχηματισμός που στέλνει το κέντρο του μπλε στο N και το κέντρο του αριστερού στοD.Στους δύο τελευταίους μετασχηματισμούς, το μόνο που αλλάζει είναι η στροφή, ενώ ο λόγος ομοιοθεσίας είναι ίδιος.Όμως η ομοιοθεσία διατηρεί λόγους τμημάτων και το ζητούμενο δείχτηκε..


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 687
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εγγράψιμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Φεβ 08, 2018 11:54 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Τρί Φεβ 06, 2018 11:58 pm
Έστω κυρτό τετράπλευρο ABCD και K το σημείο τομής των διαγωνίων του AC και BD. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων AKD και BKC, c_1 και c_2 αντίστοιχα, τέμνονται ξανά στο S. Έστω M και N τα μέσα των AC και BD. Να αποδειχθεί πως το KMSN είναι εγγράψιμο σε κύκλο, του οποίου το κέντρο είναι το μέσο της διακέντρου των κύκλων c_1 και c_2.

Εγγράψιμο.png
eggrapsimo.png
eggrapsimo.png (29.31 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές
Έστω L το μέσο της διακέντρου O_{1}O_{2}. Τότε ισχύει LK=LS. Αρκεί να δείξουμε ότι και LK=LN=LM. Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων έχουμε

2KL^2 = KO_{1}^2+KO_{2}^2-\dfrac{O_{1}O_{2}^2}{2}

2NL^2 = NO_{1}^2+NO_{2}^2-\dfrac{O_{1}O_{2}^2}{2}

Ή ισοδύναμα θα πρέπει να ισχύει (KO_{1} = O_{1}D, KO_{2}= O_{2}B).

KO_{1}^2+KO_{2}^2 = NO_{1}^2+NO_{2}^2 \Leftrightarrow

O_{1}D^2-O_1}N^2 = O_{2}N^2-O_{2}B^2

Από το δέυτερο θεώρημα διαμέσων η παραπάνω σχέση γράφεται

2ND\cdot PR = 2NB \cdot QT , όπου PR, QT οι προβολές των διαμέσων O_{1}P, O_{2}Q στα τμήματα DN, BN αντίστοιχα.

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι PR=QT ή ισοδύναμα

PR=QT \Leftrightarrow

\dfrac{DK}{2}-\dfrac{DN}{2} = \dfrac{BN}{2}-\dfrac{BK}{2} \Leftrightarrow

\dfrac{DK+BK}{2} = \dfrac{BN+DN}{2} \Leftrightarrow

BD=BD

'Αρα LK=LN. Ομοίως εργαζόμαστε και για το τμήμαLM. Επόμενως θα είναι LK=LS=LN=LM και το ζητούμενο έπεται.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1341
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εγγράψιμο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Φεβ 09, 2018 8:49 am

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:
Τρί Φεβ 06, 2018 11:58 pm
Έστω κυρτό τετράπλευρο ABCD και K το σημείο τομής των διαγωνίων του AC και BD. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων AKD και BKC, c_1 και c_2 αντίστοιχα, τέμνονται ξανά στο S. Έστω M και N τα μέσα των AC και BD. Να αποδειχθεί πως το KMSN είναι εγγράψιμο σε κύκλο, του οποίου το κέντρο είναι το μέσο της διακέντρου των κύκλων c_1 και c_2.

Εγγράψιμο.png

Από το \displaystyle D φέρνουμε παράλληλη στη \displaystyle NS που τέμνει τον κύκλο \displaystyle \left( {A,K,D} \right) στο \displaystyle E,την \displaystyle BS στο \displaystyle Z και τον κύκλο \displaystyle \left( {B,K,C} \right)στο \displaystyle H

Τότε \displaystyle S μέσον της \displaystyle BZ και οι γωνίες \displaystyle \omega είναι ίσες καθώς και \displaystyle x = y.Επειδή από το εγγράψιμο \displaystyle KBHS είναι

\displaystyle \phi  = \omega  \Rightarrow BH//EZ \Rightarrow BHZE παραλ/μμο.Άρα, \displaystyle S μέσον της \displaystyle EH

Οι \displaystyle AKC,ESH είναι τέμνουσες των δυο κύκλων ,άρα (γνωστό και απλό) \displaystyle AE//CH κι επειδή \displaystyle SM διάμεσος του τραπεζίου \displaystyle ACHE \Rightarrow SM//AE//CH

Επομένως , \displaystyle \angle ACH = \angle AMS = \angle VAE = \angle KDE = \angle DNS\displaystyle  \Rightarrow NKMS εγγράψιμο

Με \displaystyle OP \bot ES,O'Q \bot SH κι επειδή \displaystyle ES = SH \Rightarrow PS = SQ

Επειδή \displaystyle OO' μεσοκάθετος της \displaystyle KS,το κέντρο του κύκλου \displaystyle \left( {N,K,M,S} \right) θα είναι σημείο της \displaystyle OO'

Λόγω της ισότητας των μπλε γωνιών,η \displaystyle ESH είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου του \displaystyle NKMS

κι επειδή το \displaystyle OO'QP είναι τραπέζιο ,με \displaystyle L μέσον της \displaystyle OO' \Rightarrow LS \bot EH

Άρα \displaystyle L είναι το κέντρο του περίκυκλου του \displaystyle NKMS
εγγράψιμο.png
εγγράψιμο.png (48.87 KiB) Προβλήθηκε 401 φορές


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Εγγράψιμο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Φεβ 09, 2018 11:52 pm

Ενδιαφέρουσες λύσεις :coolspeak: ! Προσωπικά το έλυσα περίπου με την μέθοδο του κύριου Αλέξανδρου, δηλαδή με μετρικό τρόπο, χρησιμοποιώντας το θεώρημα Διαμεσών. Το πρόβλημα επινοήθηκε στα πλαίσια επίλυσης μιας άλλης άσκησης.

Μάλιστα παρατηρήστε πως αν M' και N' είναι σημεία των AC και BD αντίστοιχα και ισχύει ότι \dfrac{AM'}{M'C}=\dfrac{DN'}{N'B}=\lambda, τότε το KM'SN' είναι εγγράψιμο σε κύκλο κέντρου O έτσι ώστε το O να ανήκει στη διάκεντρο των δύο κύκλων και να την διαιρεί σε λόγο \lambda.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5676
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εγγράψιμο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Φεβ 10, 2018 12:57 am


Δες κι αυτή Διονύση.



Έστω O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L τα κέντρα των κύκλων (A,K,D)\,\,\kappa \alpha \iota \,(B,K,C)\, αντίστοιχα και T το

μέσο του OL. Προφανώς TK = TS.

Επειδή η εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της αντίστοιχης επικέντρου θα έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat O = \widehat {{\theta _1}}\,( = \widehat {{\theta _2}}) \hfill \\ 
  \widehat L = \widehat {{\omega _1}}\,( = \widehat {{\omega _2}}) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

συνεπώς το τρίγωνο SKL είναι όμοιο με τα τρίγωνα ASC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BSD\, .

Εγγράψιμο_ok.png
Εγγράψιμο_ok.png (56.91 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Η διάμεσός του ST\,\, είναι ομόλογη με τις διαμέσους SN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SM και άρα :

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\ 
  \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. συνεπώς το τετράπλευρο KNSM είναι εγγράψιμο

Αφού δε \boxed{\widehat {KTS} = 2\widehat {{a_1}}} το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου είναι το T.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1971
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Εγγράψιμο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Φεβ 10, 2018 10:55 am

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα AC και έστω B τυχόν σημείο μεταξύ των A,\ C . Έστω K,\ L,\ M , τα μέσα των AB,\ BC,\ AC αντιστοίχως και ας είναι O , το μέσον του τμήματος KL . Αποδείξτε ότι OB = OM.

Η απόδειξη του ως άνω γνωστού και χρήσιμου Λήμματος, είναι απλή και αφήνεται στον ενδιαφερόμενο αναγνώστη.
f=178_t=60985.png
Εγγράψιμο.
f=178_t=60985.png (32.19 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
\bullet Στο πρόβλημά μας τώρα, έστω P,\ Q , οι προβολές του μέσου T της διακέντρου OO' , των περικύκλων (O),\ (O') των τριγώνων \vartriangle KAD,\ \vartriangle KBC αντιστοίχως, επί των BD,\ AC αντιστοίχως και σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε PE = PZ , λόγω O'E\parallel TP\parallel OZ και QX = QY, λόγω OX\parallel TQ\parallel O'Y, όπου E,\ Z είναι τα μέσα των KB,\ KD αντιστοίχως και X,\ Y είναι τα μέσα των KA,\ KC , αντιστοίχως.

Σύμφωνα με το παραπάνω Λήμμα, ισχύει PK = PN\ \ \ ,(1) και QK = QM\ \ \ ,(2)

Από (1),\ (2)\Rightarrow TN = TK\ \ \ ,(3) και TK = TM\ \ \ ,(4) και ισχύει ( προφανές ) TK = TS\ \ \ ,(5)

Συμπεραίνεται έτσι, ότι τα σημεία K,\ M,\ S,\ N ανήκουν στον ίδιο κύκλο, έστω (T) , με κέντρο το μέσον T του OO' και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 687
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εγγράψιμο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Φεβ 11, 2018 7:58 pm

Επειδή κάτι μου θύμιζε το σχήμα προσπάθησα να βρω τι ... Το πρόβλημα ελαφρώς παραλλαγμένο, ότι και το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων AKB , CKD βρίσκεται στον ίδιο κύκλο, είχε τεθεί και στην μαθηματική ολυμπιάδα του λυκείου 239 της Α.Πετρούπολης το 2007 για την 10/11η τάξη.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Φεβ 11, 2018 10:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 666
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Εγγράψιμο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Φεβ 11, 2018 9:56 pm

Το πρόβλημα πάντως μου προέκυψε λύνοντας το πρόβλημα της (προηγούμενης) εβδομάδας της ΚΥΜΕ! :D


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες