Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

#1

: Εγγράψιμο.2.png (15.3 KiB) Προβλήθηκε 796 φορές

Σε παραλληλόγραμμο ABCD

η διχοτόμος της γωνίας $\widehat A$ τέμνει τις BC, DC

στα σημεία M, N

αντίστοιχα. Αν

είναι το περίκεντρο του τριγώνου MNC

να δείξετε ότι το OCBD

είναι εγγράψιμο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 07, 2018 7:54 pm
Εγγράψιμο.2.png
Σε παραλληλόγραμμο η διχοτόμος της γωνίας $\widehat A$ τέμνει τις στα σημεία

αντίστοιχα. Αν είναι το περίκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι το είναι εγγράψιμο.

Σχηματίζουμε το παραλ/μμο $\displaystyle DBMZ$ .

Λόγω της ισότητας των μπλε γωνιών θα είναι $\displaystyle \boxed{DA = DN},\boxed{NC = CM}$ και $\displaystyle \boxed{AB = BM = DZ}$

Επειδή και $\displaystyle \angle BAD = \angle CDZ \Rightarrow \vartriangle DAB = \vartriangle ZDN \Rightarrow \boxed{ZN = DB = ZM}$ και $\displaystyle \angle CBD = \angle BDA = \angle ZND = \omega$

Έτσι, η $\displaystyle ZC$ περνά από το $\displaystyle O$ και $\displaystyle \angle OCN = \angle ONC = \angle DZC$ (αφού $\displaystyle ZD = AB = DC$ ).

Τότε όμως $\displaystyle ZOND$ είναι εγγράψιμο ,άρα $\displaystyle \boxed{\angle x = \angle \omega }$ που αποδεικνύει το ζητούμενο

: τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο.png (37.35 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 07, 2018 7:54 pm
Εγγράψιμο.2.png
Σε παραλληλόγραμμο η διχοτόμος της γωνίας $\widehat A$ τέμνει τις στα σημεία

αντίστοιχα. Αν είναι το περίκεντρο του τριγώνου να δείξετε ότι το είναι εγγράψιμο.

Προφανώς (από τις παραλληλίες και τη διχοτόμο) τα τρίγωνα $\vartriangle DAN,\vartriangle CNM$ είναι ισοσκελή οπότε : και $OM=OC={{R}_{O}}$ αλλά και $\angle OMB\equiv \angle OMC\overset{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha }{\mathop{=}}\,\angle OCN\equiv \angle OCD$ . Έτσι από Π-Γ-Π προκύπτει ότι $\vartriangle OMB=\vartriangle OCD\Rightarrow \angle OBC\equiv \angle OBM=\angle ODC\Rightarrow O,D,B,C$ ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#4

: τρείς κορυφές κι ένα περίκεντρο.png (45.07 KiB) Προβλήθηκε 692 φορές

Αφού η $\overline {ANM}$ διχοτομεί τη γωνία στο

του παραλληλογράμου ABCD

αβίαστα προκύπτουν :

1. Τα τρίγωνα $ABM,\,\,NCM\,\,,\,\,NDA$ είναι ισοσκελή και ισογώνια.

2. Το τετράπλευρο ONCM

είναι χαρταετός

3. Τα τρίγωνα $OCB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OND\,$ είναι ίσα .

Άρα το τρίγωνο ODB

είναι ισοσκελές και ισογώνιο με τα τρίγωνα $ONC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OCM$ , οπότε $\displaystyle \boxed{\widehat \theta = \widehat \omega }$ που μας εξασφαλίζει αυτό που θέλουμε.

#5

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις. Η δική μου προσέγγιση είναι εδώ

Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

Re: Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

Re: Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

Re: Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

Re: Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

Μέλη σε σύνδεση