Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 07, 2018 7:54 pm

Εγγράψιμο.2.png
Εγγράψιμο.2.png (15.3 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές
Σε παραλληλόγραμμο ABCD η διχοτόμος της γωνίας \widehat A τέμνει τις BC, DC στα σημεία M, N

αντίστοιχα. Αν O είναι το περίκεντρο του τριγώνου MNC να δείξετε ότι το OCBD είναι εγγράψιμο.



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1769
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Ιαν 08, 2018 5:00 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 7:54 pm
Εγγράψιμο.2.png
Σε παραλληλόγραμμο ABCD η διχοτόμος της γωνίας \widehat A τέμνει τις BC, DC στα σημεία M, N

αντίστοιχα. Αν O είναι το περίκεντρο του τριγώνου MNC να δείξετε ότι το OCBD είναι εγγράψιμο.

Σχηματίζουμε το παραλ/μμο \displaystyle DBMZ.

Λόγω της ισότητας των μπλε γωνιών θα είναι \displaystyle \boxed{DA = DN},\boxed{NC = CM} και \displaystyle \boxed{AB = BM = DZ}

Επειδή και \displaystyle \angle BAD = \angle CDZ \Rightarrow \vartriangle DAB = \vartriangle ZDN \Rightarrow \boxed{ZN = DB = ZM} και \displaystyle \angle CBD = \angle BDA = \angle ZND = \omega

Έτσι, η \displaystyle ZC περνά από το \displaystyle O και \displaystyle \angle OCN = \angle ONC = \angle DZC(αφού \displaystyle ZD = AB = DC).

Τότε όμως \displaystyle ZOND είναι εγγράψιμο ,άρα \displaystyle \boxed{\angle x = \angle \omega } που αποδεικνύει το ζητούμενο
τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο.png
τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο.png (37.35 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Ιαν 08, 2018 5:09 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 7:54 pm
Εγγράψιμο.2.png
Σε παραλληλόγραμμο ABCD η διχοτόμος της γωνίας \widehat A τέμνει τις BC, DC στα σημεία M, N

αντίστοιχα. Αν O είναι το περίκεντρο του τριγώνου MNC να δείξετε ότι το OCBD είναι εγγράψιμο.
Προφανώς (από τις παραλληλίες και τη διχοτόμο) τα τρίγωνα \vartriangle DAN,\vartriangle CNM είναι ισοσκελή οπότε : BM=BC+CM=AD+NC=DN+NC=DC και OM=OC={{R}_{O}} αλλά και \angle OMB\equiv \angle OMC\overset{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha }{\mathop{=}}\,\angle OCN\equiv \angle OCD . Έτσι από Π-Γ-Π προκύπτει ότι \vartriangle OMB=\vartriangle OCD\Rightarrow \angle OBC\equiv \angle OBM=\angle ODC\Rightarrow O,D,B,C ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιαν 09, 2018 2:01 am

τρείς κορυφές κι ένα περίκεντρο.png
τρείς κορυφές κι ένα περίκεντρο.png (45.07 KiB) Προβλήθηκε 480 φορές
Αφού η \overline {ANM} διχοτομεί τη γωνία στο A του παραλληλογράμου ABCD αβίαστα προκύπτουν :

1. Τα τρίγωνα ABM,\,\,NCM\,\,,\,\,NDA είναι ισοσκελή και ισογώνια.

2. Το τετράπλευρο ONCM είναι χαρταετός

3. Τα τρίγωνα OCB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OND\, είναι ίσα .

Άρα το τρίγωνο ODB είναι ισοσκελές και ισογώνιο με τα τρίγωνα ONC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OCM , οπότε \displaystyle \boxed{\widehat \theta  = \widehat \omega } που μας εξασφαλίζει αυτό που θέλουμε.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8954
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρεις κορυφές κι ένα περίκεντρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 10, 2018 10:37 am

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις. Η δική μου προσέγγιση είναι εδώ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης