Με κανόνα και διαβήτη

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1429
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Με κανόνα και διαβήτη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Δεκ 31, 2017 2:51 pm

Ο Πέτρος έχει ένα κανόνα μήκους 10 εκ (δηλαδή με την βοηθεία του δεν μπορεί να φέρει τμήμα μήκους μαγαλύτερο των 10εκ) και διαβήτη με μέγιστο άνοιγμα 6 εκ (δηλαδή με την βοήθεια του δεν μπορεί να σχεδιάσει κύκλο ακτίνας μεγαλύτερης των 6 εκ). Υποδιαιρέσεις ο κανόνας και ο διαβήτης δεν έχουν, δηλαδή δεν μπορούν να υπολογίσουν μήκη τμημάτων.

Σε ένα φύλλο χαρτί είναι σημειωμένα δυο σημεία. Είναι γνωστό ότι η μεταξύ τους απόσταση είναι ίση με 17 εκ. Δείξτε, πως ο Πέτρος μπορεί να ενώσει αυτά τα σημεία με ευθύγραμμο τμήμα, χρησιμοποιώντας μόνο τον κανόνα και τον διαβήτη που έχει στην διαθεσή του.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1939
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Ιαν 02, 2018 12:30 am

Δεν αρκεί μόνο ο χάρακας;


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1429
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τρί Ιαν 02, 2018 10:29 am

rek2 έγραψε:
Τρί Ιαν 02, 2018 12:30 am
Δεν αρκεί μόνο ο χάρακας;
Χρόνια Πολλά και Καλή Χρονιά!

Δε γνωρίζω ίσως και να γίνεται. Μου φαίνεται δύσκολο πάντως.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13578
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 02, 2018 10:33 am

rek2 έγραψε:
Τρί Ιαν 02, 2018 12:30 am
Δεν αρκεί μόνο ο χάρακας;
Κώστα, ο χάρακας είναι μικρός, οπότε δεν αρκεί.

Το παραπάνω πρόβλημα (σε γενικότερη μορφή) είναι γνωστό στην βιβλιογραφία, και ίσως έχει συζητηθεί και στο δικό μας φόρουμ. Μόλις
βρω παραπομπή θα την αναρτήσω.

Είμαι βέβαιος ότι αν ψάξετε στο Google την φράση ¨construction with short ruler" ή κάτι παρεμφερές, θα βρείτε την απάντηση.

Εν ολίγοις (χωρίς αιτιολογήσεις ή λεπτομέρειες) μπορούμε με μικρό κανόνα και με διαβήτη μόνο μικρού ανοίγματος να συνδέσουμε οποιαδήποτε δύο σημεία του επιπέδου. Το πρώτο βήμα είναι να σχεδιάσεουμε ευθεία από το ένα σημείο που να διέρχεται αρκούντως κοντά από το άλλο. Το ερώτημα είναι να καταφέρουμε να βρούμε ευθεία που διέρχεται ακριβώς από το άλλο. Το καταφέρνουμε χρησιμοποιώντας την ευθεία που φέραμε και κατασκευάζοντας κατάλληλο μικρό παραλληλόγραμμο που η διαγώνιός του είναι η ζητούμενη ευθεία.

Στο παραπάνω πρόβλημα του Αλέξανδρου, δίνονται μήκη. Στο γενικό, δεν χρειάζονται.


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2823
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Τρί Ιαν 02, 2018 11:40 am

Δείτε και το θέμα εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1939
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Ιαν 02, 2018 4:15 pm

Ναι, ο χάρακας είναι μικρού μήκους, αλλά με αυτόν μπορώ να χαράξω ευθύγραμμα τμήματα πολύ μεγάλου μήκους! Επομένως ο διαβητης δεν είναι απαραίτητος.

Το πρόβλημα έχει ενδιαφέρον αν αποκλείσουμε κατασκευή που γίνεται με γνώσεις αρμονικών, πολικών σημείου ως προς ευθείες ή πολικών σημείων ως προς ευθεία και τα συναφή.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1441
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τετ Ιαν 03, 2018 12:25 am

Κατασκευή ευθείας.png
Κατασκευή ευθείας.png (51.42 KiB) Προβλήθηκε 1312 φορές
Οδηγούμαστε στη λύση του προβλήματος εκτελώντας τις εξής ενέργειες:
1. Με κέντρο A κατασκευάζουμε κύκλο (A, 4).
2. Με κέντρο B κατασκευάζουμε κύκλο (B, 4).
3. Επιλέγουμε σημείο C του (A, 4) ώστε η απόσταση του από τη νοερή ευθεία AB να μην είναι «μεγάλη». Αυτό είναι και το αδύναμο σημείο της
κατασκευής μας, η οποία θεωρεί ότι έχουμε μια κάποια εικόνα της ζητούμενης ευθείας χωρίς να γνωρίζουμε την ακριβή θέση της.
4. Κατασκευάζουμε την ευθεία AC. Αυτό είναι δυνατόν με ευκλείδειο τρόπο, αλλά και με τη συνεχή χρήση του χάρακα.
5. Κατασκευάζουμε την BD κάθετη στην ευθεία AC. Αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί αν η απόσταση BD είναι μικρότερη των 6 cm, ώστε να είναι
δυνατή κατασκευή κύκλου με τον διαβήτη που να τέμνει την ευθεία AC. Εδώ ακριβώς βοηθά η κατάλληλη επιλογή της θέσης του σημείου C.
6. Κατασκευάζουμε την ακτίνα AE ώστε να είναι κάθετη στην ευθεία AC.
7. Στον φορέα της AC επιλέγουμε σημείο H ώστε AH = BD (κάνουμε χρήση του διαβήτη).
8. Κατασκευάζουμε ευθεία κάθετη στην AH που να διέρχεται από το H. Η ευθεία αυτή διέρχεται και από το κέντρο B. Η απόδειξη είναι απλή, ιδιότητα
του παραλληλόγραμμου.
9. Κατασκευάζουμε το μέσον M και το μέσο N των τμημάτων AD και HB αντίστοιχα.
10. Κατασκευάζουμε το μέσο O του τμήματος MN.
11. Κατασκευάζουμε την ευθεία AO. Η κατασκευή είναι δυνατή, διότι το μήκος AB = 17 cm είναι μικρότερο από το διπλάσιο μήκος του χάρακα,
συνεπώς AO < 10 cm.
12. Ο φορέας της ευθείας AO είναι η ζητούμενη ευθεία την οποία μπορούμε να κατασκευάσουμε, αφού έχουμε ήδη ένα ευθυγράμμο τμήμα της.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13578
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 03, 2018 1:18 am

Ανδρέα, ευχαριστούμε.

Ας προσθέσω ότι αυτή την κατασκευή είχα κατά νου όταν έγραφα
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Ιαν 02, 2018 10:33 am
Εν ολίγοις (χωρίς αιτιολογήσεις ή λεπτομέρειες) μπορούμε με μικρό κανόνα και με διαβήτη μόνο μικρού ανοίγματος να συνδέσουμε οποιαδήποτε δύο σημεία του επιπέδου. Το πρώτο βήμα είναι να σχεδιάσεουμε ευθεία από το ένα σημείο που να διέρχεται αρκούντως κοντά από το άλλο. Το ερώτημα είναι να καταφέρουμε να βρούμε ευθεία που διέρχεται ακριβώς από το άλλο. Το καταφέρνουμε χρησιμοποιώντας την ευθεία που φέραμε και κατασκευάζοντας κατάλληλο μικρό παραλληλόγραμμο που η διαγώνιός του είναι η ζητούμενη ευθεία.

Στο παραπάνω πρόβλημα του Αλέξανδρου, δίνονται μήκη. Στο γενικό, δεν χρειάζονται.
Με εξαίρεση ότι σε κάποια σημεία (π.χ. στο 11) μπορούμε να εργαστούμε γενικότερα. Συγκεκριμένα, δες αυτό που κοκκίνισα μία γρραμμή από πάνω.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1939
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Ιαν 03, 2018 3:08 am

Ας πούμε ότι θέλουμε να ενώσουμε τα σημεία A και B.

Μπορούμε να χαράξουμε μια τεθλασμένη γραμμή ACB

Μπορούμε να βρούμε το μέσο M του AC και το μέσο N του BC.

Αν το MN είναι μικρότερο από το μήκος του χάρακα, φέρνω το MN και στη συνέχεια φέρνω από το A παράλληλη σε αυτό, (μεταφέροντας την γωνία CMN στο A), η οποία διέρχεται από το B.

Αν το MN είναι μεγαλύτερο από το μήκος του χάρακα συνεχίζω με τα μέσα των CM και CN κ.λπ., κ.λπ.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1429
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Ιαν 03, 2018 10:20 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 12:25 am

3. Επιλέγουμε σημείο C του (A, 4) ώστε η απόσταση του από τη νοερή ευθεία AB να μην είναι «μεγάλη». Αυτό είναι και το αδύναμο σημείο της
κατασκευής μας, η οποία θεωρεί ότι έχουμε μια κάποια εικόνα της ζητούμενης ευθείας χωρίς να γνωρίζουμε την ακριβή θέση της.
rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 3:08 am
Ας πούμε ότι θέλουμε να ενώσουμε τα σημεία A και B.

Μπορούμε να χαράξουμε μια τεθλασμένη γραμμή ACB

Για να είμαστε ακριβοδίκαιοι (κυρίως προς τους μαθητές) τα παραπάνω κομμάτια πίστευω χρήζουν λίγο περεταίρω δικαιολόγησης.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1441
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Τετ Ιαν 03, 2018 3:53 pm

Για την επιλογή του κύκλου (A, 4) η επιλογή της ακτίνας μήκους 4 cm είχε σκοπό να δείξω
ότι μπορεί με τον διαβήτη και τον χάρακα που έχουμε να κατασκευάσουμε τμήμα μήκους  4cm = 10 cm - 6 cm.
Ουσιαστικά, μπορούμε να κατασκευάσουμε όλα τμήμα με ακέραιο μήκος με τη μέθοδο της διχοτόμησης.
Κατά τα άλλα δεν αλλάζει κάτι αν πάρουμε κύκλους με ακτίνα 6 cm, όπως φαίνεται και στο νέο σχήμα.
Κατασκευή ευθείας 1.png
Κατασκευή ευθείας 1.png (71.04 KiB) Προβλήθηκε 1244 φορές


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1429
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Ιαν 03, 2018 4:18 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 3:53 pm
Για την επιλογή του κύκλου (A, 4) η επιλογή της ακτίνας μήκους 4 cm είχε σκοπό να δείξω
ότι μπορεί με τον διαβήτη και τον χάρακα που έχουμε να κατασκευάσουμε τμήμα μήκους  4cm = 10 cm - 6 cm.
Ουσιαστικά, μπορούμε να κατασκευάσουμε όλα τμήμα με ακέραιο μήκος με τη μέθοδο της διχοτόμησης.
Κατά τα άλλα δεν αλλάζει κάτι αν πάρουμε κύκλους με ακτίνα 6 cm, όπως φαίνεται και στο νέο σχήμα.Κατασκευή ευθείας 1.png

Ο ενδοιασμός μου δεν είναι τόσο για την επιλογή της ακτίνας 4 εκ αλλά για την επιλογή του σημείου C. Ίσως να φαίνεται ότι το ψειρίζουμε το θέμα, το θεωρώ όμως ουσιώδες.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1939
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Ιαν 03, 2018 10:08 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 10:20 am

rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 3:08 am
Ας πούμε ότι θέλουμε να ενώσουμε τα σημεία A και B.

Μπορούμε να χαράξουμε μια τεθλασμένη γραμμή ACB

Για να είμαστε ακριβοδίκαιοι (κυρίως προς τους μαθητές) τα παραπάνω κομμάτια πίστευω χρήζουν λίγο περεταίρω δικαιολόγησης.
Το.νόημα. είναι ότι με πεπερασμένο αριθμό βημάτων μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο ευθείες, ώστε η μία να διέρχεται από το Α , η άλλη από το Β και να τέμνονται σε ένα σημειο, το C.

Επειδή το πρόβλημα μπορεί να λυθεί μόνο με χάρακα, θεωρώ ότι, έτσι διατυπωμενο, απευθύνεται σε μαθητές μικρών τάξεων ή ότι πρέπει να λυθεί με "απλές" γνώσεις.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1429
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Ιαν 03, 2018 11:53 pm

rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 10:08 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 10:20 am

rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 3:08 am
Ας πούμε ότι θέλουμε να ενώσουμε τα σημεία A και B.

Μπορούμε να χαράξουμε μια τεθλασμένη γραμμή ACB

Για να είμαστε ακριβοδίκαιοι (κυρίως προς τους μαθητές) τα παραπάνω κομμάτια πίστευω χρήζουν λίγο περεταίρω δικαιολόγησης.
Το.νόημα. είναι ότι με πεπερασμένο αριθμό βημάτων μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο ευθείες, ώστε η μία να διέρχεται από το Α , η άλλη από το Β και να τέμνονται σε ένα σημειο, το C.

Επειδή το πρόβλημα μπορεί να λυθεί μόνο με χάρακα, θεωρώ ότι, έτσι διατυπωμενο, απευθύνεται σε μαθητές μικρών τάξεων ή ότι πρέπει να λυθεί με "απλές" γνώσεις.
Καλησπέρα κ.Κώστα,

Το πρόβλημα είναι από ολυμπιάδα στην Ρωσία. Τέθηκε σε μαθητές της 9ης τάξης, οπότε ναι, όντως είναι υπολογισμένο να λυθεί με τα σχολικά μέσα (ας πούμε Α' Λυκείου) ή τουλάχιστον να υπάρχει μια λύση με σχολικά μέσα. Για αυτό το έβαλα στο φάκελο Θαλή/Ευκλείδη.

Ως αναφορά το πρόβλημα, κατανοώ την κατασκευή που περιγράφετε αλλά εξακολουθώ να θεωρώ ότι δεν είναι αυστηρή/πλήρης. Δε ξέρω, οι γνώσεις μου είναι πεπερασμένες και δεν έχω εμπειρία βαθμολόγησης, θα δίναμε όμως όλο το βαθμό σε μια τέτοια απάντηση;

Για να ξεκινήσει η παραπάνω διαδικασία, έστω από το A, θα πρέπει κάπως να σημειώσουμε ένα σημείο εκτός του A και να φέρουμε το πρώτο τμήμα με τον κανόνα μας. Ώστε μετά «ολισθαίνοντάς» τον σε αυτό το τμήμα να χαράξουμε την ευθεία που θέλουμε. Πώς όμως διαλέγουμε αυτό το σημείο ώστε να εγγυηθούμε ότι οι ευθείες π.χ. δε θα είναι παράλληλες και θα τμηθούν; Φαίνεται προφανές: Θα το διαλέξουμε κάπως να είναι προς το B, και το αντίστοιχο του B προς το A. Αυτά τα σημεία τα θεωρώ ουσιώδη προς στην πορεία της λύσης. Προφανώς μπορεί καi να σφάλω και να μου ξεφεύγει κάτι.

Ελπίζω να έγιναν κατανοητές οι ενστάσεις μου.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13578
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 04, 2018 12:46 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 11:53 pm
Το πρόβλημα είναι από ολυμπιάδα στην Ρωσία.
Αλέξανδρε, υπάρχει η επίσημη λύση για να δούμε τι έχουν στον νου οι θεματοθέτες;


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1939
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Πέμ Ιαν 04, 2018 10:42 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 11:53 pm
rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 10:08 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 10:20 am

rek2 έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 3:08 am
Ας πούμε ότι θέλουμε να ενώσουμε τα σημεία A και B.

Μπορούμε να χαράξουμε μια τεθλασμένη γραμμή ACB

Για να είμαστε ακριβοδίκαιοι (κυρίως προς τους μαθητές) τα παραπάνω κομμάτια πίστευω χρήζουν λίγο περεταίρω δικαιολόγησης.
Το.νόημα. είναι ότι με πεπερασμένο αριθμό βημάτων μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο ευθείες, ώστε η μία να διέρχεται από το Α , η άλλη από το Β και να τέμνονται σε ένα σημειο, το C.

Επειδή το πρόβλημα μπορεί να λυθεί μόνο με χάρακα, θεωρώ ότι, έτσι διατυπωμενο, απευθύνεται σε μαθητές μικρών τάξεων ή ότι πρέπει να λυθεί με "απλές" γνώσεις.

.... δεν έχω εμπειρία βαθμολόγησης, θα δίναμε όμως όλο το βαθμό σε μια τέτοια απάντηση;

...
Πώς όμως διαλέγουμε αυτό το σημείο ώστε να εγγυηθούμε ότι οι ευθείες π.χ. δε θα είναι παράλληλες και θα τμηθούν;.....

Ελπίζω να έγιναν κατανοητές οι ενστάσεις μου.
Αλέξανδρε, καλημέρα!

Όσον αφορά την βαθμολόγηση, τι μπορώ να σου πω;!
Είναι από τις περιπτώσεις που όταν μου τυγχάνουν σκέφτομαι "είναι για 20, αλλά πρέπει να βάλω άσο"!!!
:-) :-) :-)

Τώρα για το σημείο: Δεν επιλέγω σημείο. Τις ευθείες φέρνω και βρίσκω το σημείο τομής τους. (Για την μη παραλληλία: π.χ. φέρνω δύο ευθείες από το Α. Αν η μια διέρχεται από το Β τελειώσαμε. Αν οχι φέρνω μια ευθεία από το Β που θα τμησει τουλάχιστον την μία.)

Αλέξανδρε, να σε ευχαριστήσω για τις ασκήσεις-θησαυρούς, θα έλεγα- που μεταφράζεις. Θα είμαι ευγνώμων αν συνεχίσεις να το κάνεις.
Χρόνια Πολλά! :-)


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1429
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Ιαν 04, 2018 11:36 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Ιαν 04, 2018 12:46 am
Al.Koutsouridis έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 11:53 pm
Το πρόβλημα είναι από ολυμπιάδα στην Ρωσία.
Αλέξανδρε, υπάρχει η επίσημη λύση για να δούμε τι έχουν στον νου οι θεματοθέτες;
Καλημέρα κ.Μιχάλη,

Τα θέματα μπορείτε να τα βρείτε εδώ,πρόβλημα 3 και τις λύσεις εδώ, σελίδα 4. Παρακάτω παραθέτω την μετάφραση. Τα σχήματα είναι δικά μου μιας και δεν έχει στο κείμενο.
me_kanona_kai_diavhth_vhma1.png
me_kanona_kai_diavhth_vhma1.png (20.63 KiB) Προβλήθηκε 1061 φορές

Βήμα 1ο: Δίνεται τμήμα CD μήκους μικρότερου των 12 εκ. Κατασκευάζουμε την μεσοκάθετο και το μέσο του. Για την κατασκευή φέρουμε δυο κύκλους με κέντρα αυτά τα σημεία ίδιας ακτίνας για παράδειγμα 6 εκ. Έστω EF το τμήμα που ενώνει τα σημεία τομής τους. Το τμήμα αυτό θα είναι και η μεσοκάθετος του CD. Στην περίπτωση που η απόσταση μεταξύ των σημείων τομής είναι μεγαλύτερη των 10 εκ, δεν μπορούμε να τα ενώσουμε με τον χάρακα.(στην περίπτωση που η επιλογή της ακτίνας είναι ίση με το CD αυτή η απόσταση είναι λίγο μεγαλύτερη 10 εκ). Τότε μικραίνουμε λίγο την ακτίνα και φέρουμε δυο νέους κύκλους που τέμνονται και αυτοί στην μεσοκάθετο. Ως αποτέλεσμα θα έχουμε τέσσερα σημεία τομής που βρίσκοντι στην ίδια ευθεία. Ενώνοντας τα ζεύγη σημείων που είναι πιο κοντά το ένα στο άλλο και προεκτείνοντας τα τμήματα με προφανή τρόπο (ολισθαίνοντας τον χάρακα), φέρουμε την μεσοκάθετο. Στη συνέχεια με ανάλογη κατασκευή ανικαθιστώντας τα σημεία C,D με τα E,F κατασκευάζουμε την μεσοκάθετο του EF που συμπίπτει με την CD. Η τομή των ευθειών που κατασκευάσαμε CD, EF θα είναι και το κοινό μέσο τους.

Έστω A,B τα ζητούμενα σημεία που βρίσκονται σε απόσταση 17 εκ. Θα κατασκευάσουμε τμήμα που τα εννώνει.

Βήμα 2ο: Κατασκευάζουμε κανονικό εξάγωνο με κέντρο το σημείο A και πλευρά 6εκ. Διαλέγουμε την μέγιστη ακτίνα 6εκ και φέρουμε κύκλο με κέντρο το A. Διαλέγουμε τυχαίο σημείο Q σε αυτόν και φέρουμε νεό κύκλο με κέντρο αυτό το σημείο και ίδια ακτίνα 6εκ. Σημειώνουμε τα σημεία τομής του με τον αρχικό κύκλο, έστω P_{1}, P_{2}. Το τρίγωνο AQP_{j}, j=1,2 είναι ισόπλευρο. Συνεχίζοντας νέες κατασκευές κύκλων με κέντρα τα σημεία P_{j} και τα σημεία τομής του αρχικού κύκλου έχουμε ως αποτέλεσμα το κανονικό εξάγωνο με κέντρο το Α. Ενώνουμε όλες τις κορυφές του με το κανόνα με το A και έτσι έχουμε την διαμέρισή του σε ισόπλευρα τρίγωνα. Επαναλαμβάνοντας την προηγούμενη κατασκευή με κέντρα ττώρα τις κορυφές του εξαγώνου κατασκευάζουμε "κολλητά" εξάγωνα στο αρχικό και τα διαμερίζουμε σε ισόπλευρα τρίγωνα. Ως αποτέλεσμα θα έχουμε (κυρτό) πολύγωνο που αποτελείτε από ισόπλευρα τρίγωνα και περικλειεί κύκλο ακτίνας 12εκ. με κέντρο το A. Συνεχίζοντας ανάλογες κατασκευές κύκλων με κέντρα τις κορυφές του νέου πολυγώνου και κατασκευάζοντας κανονικα εξάγωνα και ισόπλευρα τρίγωνα θα προκύψει ένα πολύγωνο \Pi διαμερισμένο σε ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς 6εκ, το οποίο θα ονομάσουμε τριγωνική διαμέριση και περιέχει κύκλο ακτίνας 18εκ με κέντρο το A. To \Pi περιέχει και το σημείο B. Θα συμβολίσουμε με T το τρίγωνο της διαμέρισης που περιέχει το B. "Φιξάρουμε" μια κορυφή D του τριγώνου T.

Θα φέρουμε την ευθεία AD. Αυτό μπορούμε να το κάνουμε με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη. Παρατηρούμε ότι το τμήμα AD είναι η διαγώνιος ενός κατάλληλου παραλληλογράμμου που είναι διαμερισμένο σε ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρά 6εκ. Οπότε το μέσο της θα είναι είτε κορυφή είτε το μέσο κάποιος πλευράς των τριγώνων της διαμέρισης. Το μήκος της διαγωνίου AD είναι μικρότερη των 17+6 = 23 εκ. Δηλαδή το μήκος του μισού της θα είναι μικρότερο των 12εκ και μπορούμε να την κατασκευάσουμε με το βήμα 1. Έτσι φαίρουμε το τμήμα AD.
me_kanona_kai_diavhth.png
me_kanona_kai_diavhth.png (63.14 KiB) Προβλήθηκε 1061 φορές

Βήμα 3ο: Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου ABC με ορθή γωνία στο C και πλευρά BC μικρότερη των 6εκ. με κατασκευάσιμες καθέτους AC, BC και την μη "κατασκευασμένη" υποτείνουσα AB. Για αυτό προεκτύνουμε την ευθεία AD με την βοήθεια του χάρακα και φέρουμε κάθετη από το σημείο A με την ακόλουθη κατασκευή.


Στο σημείο αυτό για κάποιο περιέργο λόγο σταματάει το κείμενο και πηγαίνει στη λύση του επόμενου θέματος. μάλλον έχει γίνει λάθος και ξεχάστηκε.Εικάζω η λύση θα συνεχίζεται με κατασκευη ορθογωνίου που η μια διαγώνιος του είναι το ζητούμενο τμήμα και η άλλη το τμήμα AD όπως στην λύση του κ.Πούλου παραπάνω.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Πέμ Ιαν 04, 2018 8:31 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2091
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Ιαν 04, 2018 12:19 pm

Καλή χρονιά σε όλους, με υγεία και δύναμη.

Το θέμα έχει συζητηθεί και Εδώ.

Κώστας Βήττας.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13578
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 04, 2018 6:40 pm

Αλέξανδρε είσαι θησαυρός. Ευχαριστούμε.

Κλέβοντας την ιδέα της τριγωνοποίησης του επιπέδου, δίνω άλλη μία λύση, νομίζω πολλή απλή. Αφήνω τις προφανείς λεπτομέρειες.

Χωρίζουμε το επίπεδο σε μικρά τρίγωνα ή τετράγωνα ή οτιδήποτε άλλο μας βολεύει, φροντίζοντας να είναι ποιο μικρά από τον χάρακά μας. Το έκανα με τετράγωνα.

Το σημείο A είναι η αφετηρία, ως κορυφή κάποιου τετραγώνου. Το B θα πέσει εντός ή στην περίμετρο κάποιου τετραγώνου παραπέρα. Σχεδιάζουμε τώρα μία τεθλασμένη (κόκκινη γραμμή στο σχήμα) που ενώνει τα A και B. Μετά σχεδιάζουμε (απλό) μία όμοιά της (πράσινη στο σχήμα) με τέτοιο λόγο ομοιότητας ώστε να πέσει ολόκληρη μέσα στο αρχικό τετράγωνο. Στο σχήμα το έκανα 1:5 διότι το τετράγωνο του B είναι 4 "τετράγωνα πιο κεί". Αν η άκρη B της τεθλασμένης πέσει στο B', τότε από ομοιότητα η AB' είναι η ζητούμενη. Τελειώσαμε.
.
Συνημμένα
aprosito simeio.png
aprosito simeio.png (6.13 KiB) Προβλήθηκε 1082 φορές


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1429
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Με κανόνα και διαβήτη

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Ιαν 04, 2018 8:50 pm

rek2 έγραψε:
Πέμ Ιαν 04, 2018 10:42 am

Όσον αφορά την βαθμολόγηση, τι μπορώ να σου πω;!
Είναι από τις περιπτώσεις που όταν μου τυγχάνουν σκέφτομαι "είναι για 20, αλλά πρέπει να βάλω άσο"!!!

Τώρα για το σημείο: Δεν επιλέγω σημείο. Τις ευθείες φέρνω και βρίσκω το σημείο τομής τους. (Για την μη παραλληλία: π.χ. φέρνω δύο ευθείες από το Α. Αν η μια διέρχεται από το Β τελειώσαμε. Αν οχι φέρνω μια ευθεία από το Β που θα τμησει τουλάχιστον την μία.)

Θα κάνω τον συνήγορο του κατασκευαστή για μια τελευταία φορά :D

Εδώ πάλι υπονοείται μια διαδικασία που δεν είναι προφανής. Ευθεία με τον κανόνα που έχουμε στη διαθεσή μας δεν μπορούμε να άγουμε γιατί χρειαζόμαστε άπειρα βήματα μπορούμε να άγουμε μόνο ευθύγραμμα τμήματα. Άρα θα πρέπει να αποφασήσουμε προς τα πού (προσανατολισμό) θα άξουμε την ευθεία (τμήμα). Γιατί αν κινηθούμε τυχαία μπορεί προς αυτή την κατεύθυνση οι ευθείες να αποκλίνουν και να μη φτάσουμε στο σημείο τομής ποτέ. Άρα θα πρέπει να κάνουμε κάποια βήματα πεπερασμένα προς τη μια πλευρά και κάποια προς την άλλη ώστε να βρούμε το σημείο τομής.

Tα της βαθμολογίας τα ανέφερα έχοντας κάποια τέτοια κομμάτια λογικής υπόψη. Έχει π.χ. ο μαθητής κατανοήσει οτί δεν μπορεί να φέρει ευθεία στη γενική μορφή της και ότι διάλεξε να βάλει τον κανόνα προς μια κατεύθυνση που δεν βλάπτει την γενικότητα λόγο πλήρους γνώσης του τι κάνει απλά χάρη συντομίας ή επειδή τα θεώρησε προφανή; Στη δεύτερη περίπτωση νομίζω πρέπει να κοπούν βαθμοί.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες