Σελίδα 1 από 1

Ημιβάση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 01, 2017 7:46 pm
από KARKAR
Ημιβάση.png
Ημιβάση.png (10.09 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC είναι ισοσκελές ( AB=AC) και E είναι το βαρύκεντρό του .

Αν ο κύκλος ( A,E,B ) , τέμνει την πλευρά AC στο σημείο S και προκύπτει

AS=\dfrac{BC}{2} , βρείτε τη σχέση που συνδέει τις πλευρές AB και BC .

Re: Ημιβάση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 01, 2017 9:48 pm
από Doloros
Σχετικά απλό . b=2a

Ας είναι T το (άλλο) σημείο τομής του κύκλου (A,E,B) με τη BC = 2u . Ακόμα έστω AB = AC = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TB = x . Από τις δυνάμεις των σημείων M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C έχω :
Ημιβάση.png
Ημιβάση.png (28.09 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  MB \cdot MT = ME \cdot MA \hfill \\ 
  CB \cdot CT = CS \cdot CA \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  u(u + x) = \frac{1}{3}({b^2} - {u^2}) \hfill \\ 
  2u(2u + x) = (b - u)b \hfill \\  
\end{gathered}  \right. με απάλειψη του x έχω :

{b^2} - 4{u^2} - 3bu = 0 αλλά a = 2u οπότε : \boxed{2{b^2} - 2{a^2} - 3ab = 0} . Θέτω b = ak,\,\,k > 0 κι έχω :

2{k^2} - 3k - 2 = 0 \Rightarrow k = 2 \Rightarrow \boxed{b = 2a}.

Re: Ημιβάση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Δεκ 01, 2017 10:39 pm
από STOPJOHN
KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 01, 2017 7:46 pm
Ημιβάση.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι ισοσκελές ( AB=AC) και E είναι το βαρύκεντρό του .

Αν ο κύκλος ( A,E,B ) , τέμνει την πλευρά AC στο σημείο S και προκύπτει

AS=\dfrac{BC}{2} , βρείτε τη σχέση που συνδέει τις πλευρές AB και BC .
Από τη δυναμη του σημείου N, ως προς τον κύκλο είναι

NS.NA=NE.NB\Leftrightarrow \dfrac{(b-a)b}{4}=\dfrac{\mu _{b}^{2}}{3},(1),

Από το θεώρημα της διαμέσου στο τρίγωνο

ABC,\mu _{b}^{2}=\dfrac{b^{2}+2a^{2}}{4},(2), 

(1),(2)\Rightarrow 2a^{2}+3ab=2b^{2}\Leftrightarrow 2x^{2}+3x-2=0,x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow b=2a




Γιάννης

Re: Ημιβάση

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 02, 2017 8:20 am
από KARKAR
Doloros έγραψε:
Παρ Δεκ 01, 2017 9:48 pm
Σχετικά απλό ...
Πράγματι Νίκο , δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη και μάλιστα με τη λύση του Γιάννη ,

φαίνεται ακόμη ευκολότερη . Ας λάβουμε , όμως , υπόψιν , ότι η η χρησιμοποιούμενη

στη λύση θεωρία ( θεωρήματα διαμέσων και τεμνόμενων χορδών ) , είναι πλέον

εκτός ύλης :cry: . Ίσως πρέπει να φωνάξουμε να αρθεί αυτή η "ανορθογραφία" :!:

Αλλιώς τα σχετικά θέματα θα εξοβελιστούν και από τους διαγωνισμούς ...

Re: Ημιβάση

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 02, 2017 11:55 am
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 01, 2017 7:46 pm
Ημιβάση.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι ισοσκελές ( AB=AC) και E είναι το βαρύκεντρό του .

Αν ο κύκλος ( A,E,B ) , τέμνει την πλευρά AC στο σημείο S και προκύπτει

AS=\dfrac{BC}{2} , βρείτε τη σχέση που συνδέει τις πλευρές AB και BC .
Καλημέρα!
Ημιβάση.png
Ημιβάση.png (9.15 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές
Λόγω της διχοτόμου και των ίσων εγγεγραμμένων γωνιών είναι ES=BE=\dfrac{2m_b}{3} και AS=\dfrac{a}{2}, AE=\dfrac{2m_a}{3}.

Με νόμο συνημιτόνων στο AES και χρησιμοποιώντας τους τύπους των διαμέσων, βρίσκω:

\displaystyle \cos \frac{A}{2} = \frac{{\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{4a}} = \frac{{{m_a}}}{{2a}} \Leftrightarrow \frac{{{m_a}}}{b} = \frac{{{m_a}}}{{2a}} \Leftrightarrow \boxed{b=2a}