Περί εφαπτομένης

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10749
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Περί εφαπτομένης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Οκτ 20, 2017 6:56 pm

Περί εφαπτομένης.png
Περί εφαπτομένης.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές
Έστω E, D σημεία των πλευρών AB, AC αντίστοιχα, σκαληνού τριγώνου ABC, ώστε το BEDC να είναι εγγράψιμο.

Αν O είναι το σημείο τομής των BD, CE και M, N τα μέσα των BC, DE αντίστοιχα, να δείξετε ότι η AO εφάπτεται

στον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία O, M, N.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Περί εφαπτομένης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Οκτ 21, 2017 3:25 pm

Περί εφαπτομένης.png
Περί εφαπτομένης.png (38.01 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές
Φέρνουμε τις ON, OM και NM. Έστω πως η NM τέμνει την CE στο S και πως η AO τέμνει τις ED και BC στα P και R.

Αρκεί να αποδείξουμε πως \widehat{NMO}=\widehat{NOA}.

Επειδή τα τρίγωνα EOD και BOC είναι όμοια, θα είναι ίσες όλες οι αντίστοιχες γωνίες τους, άρα \widehat{NOD}=\widehat{MOC}.
Επομένως αρκεί \widehat{NMO}+\widehat{MOC}=\widehat{NOA}+\widehat{NOD}\Leftrightarrow \widehat{MSC}=\widehat{POD}

Αρκεί τα τρίγωνα MSC και POD να είναι όμοια. Αυτά έχουν \widehat{SCM}=\widehat{ECB}=\widehat{EDB}=\widehat{PDO}.

Αρκεί λοιπόν \widehat{SMC}=\widehat{OPD}, δηλαδή αρκεί το PRMN να είναι εγγράψιμο.

Προεκτείνουμε τις ED και BC και έστω πως τέμνονται στο K.

Από το πλήρες τετράπλευρο AEOD.BC έχουμε πως οι διαγώνιές του BC και AO τέμνουν την διαγώνιο του ED στα σημεία K και P άρα έχουμε πως η τετράδα (K, P, E, D) είναι αρμονική. Όμοια και η τετράδα (K, R , B, C) είναι αρμονική. Επομένως από τη σχέση Mac Laurian για τα μέσα N και M έχουμε πως:

KE\cdot KD=KP\cdot KN

KB\cdot KC=KR\cdot KM.

Όμως από το εγγράψιμο BEDC έχουμε πως KE\cdot KD=KB\cdot KC, άρα KP\cdot KN=KR\cdot KM, άρα το PRMN να είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης