Αναμενόμενη εφαπτομένη

[Doloros]

Αναμενόμενη εφαπτομένη.png (28.55 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές

Έστω τρίγωνο και το μέσο του . Τυχαία ευθεία τέμνει στα τις ευθείες και την από το παράλληλη στην .

Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου που το τέμνει στο , η κάθετη στο επί την .

Δείξετε ότι η εφάπτεται του ημικυκλίου.

[KDORTSI]

Έστω τρίγωνο και το μέσο του . Τυχαία ευθεία τέμνει στα τις ευθείες και την από το παράλληλη στην .

Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου που το τέμνει στο , η κάθετη στο επί την .

Δείξετε ότι η εφάπτεται του ημικυκλίου.

Νίκο καλησπέρα.

Αρχικά στο ακόλουθο σχήμα ας θυμηθούμε τα ακόλουθα:

Αναμενόμενη εφαπτομένη 1.png (28.43 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

Αν το σημείο είναι τυχαίο σημείο επί της διαμέτρου ενός κύκλου
και σ' αυτή υψώσουμε κάθετη στη διάμετρο , τότε αυτή θα ορίσει επί του κύκλου
τα σημεία . Αν τώρα στα σημεία αυτά φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου,
αυτή θα ορίσει στην προέκταση της διαμέτρου σημείο , το οποίο θα είναι συζυγές
αρμονικό του σημείου .
Το σημείο αυτό είναι μοναδικό και εξαρτάται από τη θέση του σημείου .
(Θυμίζουμε ότι η λέγεται και πολική του σημείου )
Τα ανωτέρω εύκολα δείχνονται αν σκεφτεί κανείς ότι οι είναι αντίστοιχα
η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας του τριγώνου .

Για το ερώτημα της άσκησης εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Αναμενόμενη εφαπτομένη 2.png (38.46 KiB) Προβλήθηκε 618 φορές

Θα θυμηθούμε το θεώρημα του Πάππου για τις δέσμες ευθειών που διατηρούν το διπλό λόγο,
όταν αυτές τέμονται από άλλες ευθείες.
Κατ' αρχήν το συζυγές αρμονικό του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι το επ' άπειρον σημείο.
Δηλαδή: η τετράδα των ευθειών είναι αρμονική, άρα σύμφωνα με το Θεώρημα
του Πάππου οι ευθείες αυτές θα ορίζουν επί της αρμονική τετράδα.
Άρα:
αρμονική.

Έτσι σύμφωνα με την προηγούμενη αναφορά, αν στο σημείο , φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου
με διάμετρο την , αυτή θα διέλθει από το .
Η διαπίστωση αυτή μας επιτρέπει να ισχυριστούμε ότι αν από το σημείο , φέρουμε την εφαπτομένη στον
κύκλο αυτό, αυτή θα περάσει από το σημείο λόγω της μοναδικότητας του συζυγούς αρμονικού.

Κώστας Δόρτσιος

[Doloros]

Έστω τρίγωνο και το μέσο του . Τυχαία ευθεία τέμνει στα τις ευθείες και την από το παράλληλη στην .

Γράφω ημικύκλιο διαμέτρου που το τέμνει στο , η κάθετη στο επί την .

Δείξετε ότι η εφάπτεται του ημικυκλίου.

Νίκο καλησπέρα.

Αρχικά στο ακόλουθο σχήμα ας θυμηθούμε τα ακόλουθα:

Αναμενόμενη εφαπτομένη 1.png

Αν το σημείο είναι τυχαίο σημείο επί της διαμέτρου ενός κύκλου
και σ' αυτή υψώσουμε κάθετη στη διάμετρο , τότε αυτή θα ορίσει επί του κύκλου
τα σημεία . Αν τώρα στα σημεία αυτά φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου,
αυτή θα ορίσει στην προέκταση της διαμέτρου σημείο , το οποίο θα είναι συζυγές
αρμονικό του σημείου .
Το σημείο αυτό είναι μοναδικό και εξαρτάται από τη θέση του σημείου .
(Θυμίζουμε ότι η λέγεται και πολική του σημείου )
Τα ανωτέρω εύκολα δείχνονται αν σκεφτεί κανείς ότι οι είναι αντίστοιχα
η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας του τριγώνου .

Για το ερώτημα της άσκησης εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Αναμενόμενη εφαπτομένη 2.png

Θα θυμηθούμε το θεώρημα του Πάππου για τις δέσμες ευθειών που διατηρούν το διπλό λόγο,
όταν αυτές τέμονται από άλλες ευθείες.
Κατ' αρχήν το συζυγές αρμονικό του μέσου ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι το επ' άπειρον σημείο.
Δηλαδή: η τετράδα των ευθειών είναι αρμονική, άρα σύμφωνα με το Θεώρημα
του Πάππου οι ευθείες αυτές θα ορίζουν επί της αρμονική τετράδα.
Άρα:
αρμονική.

Έτσι σύμφωνα με την προηγούμενη αναφορά, αν στο σημείο , φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου
με διάμετρο την , αυτή θα διέλθει από το .
Η διαπίστωση αυτή μας επιτρέπει να ισχυριστούμε ότι αν από το σημείο , φέρουμε την εφαπτομένη στον
κύκλο αυτό, αυτή θα περάσει από το σημείο λόγω της μοναδικότητας του συζυγούς αρμονικού.

Κώστας Δόρτσιος

Κώστα καλησπέρα .

Ευχαριστώ για την ωραία λύση . Αλλά δεν είναι μόνο ή λύση είναι και η εν γένει άψογη παρουσίαση με απαράμιλλο διδακτικό τρόπο !