Ισότητα από προβολές

#1

: Ισότητα από προβολές.png (15.52 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Έστω

τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου ABC

και

οι προβολές των B, C

στις

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι KF=LE.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 29, 2017 1:01 pm
Έστω τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου και οι προβολές των στις

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι

Είναι γνωστό και απλό ότι οι γωνίες του τριγώνου BDF

είναι ίσες με του αρχικού. Με αυτό κατα νου έχουμε

$KF = BF \cos BFD = BF \cos C = (BC \cos B) \cos C = a \cos B \cos C$ .

Τόσο είναι για παρόμοιο λόγο το μήκος του

, από όπου το ζητούμενο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 29, 2017 1:01 pm
Ισότητα από προβολές.png
Έστω τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου και οι προβολές των στις

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι

Λόγω των εγγράψιμων $\displaystyle AEDB,AFDC$ οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες όπως και οι πράσινες

Άρα $\displaystyle \vartriangle FKB \simeq \vartriangle ADC$ και $\displaystyle \vartriangle ELC \simeq \vartriangle ABD$ οπότε, $\displaystyle \frac{{AD}}{{LC}} = \frac{{BD}}{{EL}} \Leftrightarrow AD \cdot EL = LC \cdot BD(1)$

και $\displaystyle \frac{{AD}}{{BK}} = \frac{{DC}}{{FK}} \Leftrightarrow AD \cdot FK = BK \cdot DC(2)$

Ακόμη $\displaystyle \angle KBD = \angle {D_1}$ (οξείες με κάθετες πλευρές) όπως και $\displaystyle \angle LCD = \angle {D_2}$ για τον ίδιο λόγο .

Άρα ( $\displaystyle \angle {D_1} = \angle {D_2}$ ), $\displaystyle \angle KBD = \angle LCD \Rightarrow \vartriangle KBD \simeq \vartriangle LCD \Rightarrow \frac{{CL}}{{BK}} = \frac{{DC}}{{BD}} \Rightarrow CL \cdot BD = BK \cdot DC(3)$

$\displaystyle \frac{{\left( 1 \right)}}{{\left( 2 \right)}} \Rightarrow \frac{{EL}}{{FK}} = \frac{{CL \cdot BD}}{{BK \cdot DC}} = 1$ λόγω της $\displaystyle (3)$ άρα $\displaystyle \boxed{EL = FK}$

: IAP.png (12.27 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές

Ισότητα από προβολές

Ισότητα από προβολές

Re: Ισότητα από προβολές

Re: Ισότητα από προβολές

Μέλη σε σύνδεση