Συντρέχουσες ευθείες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Συντρέχουσες ευθείες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Σεπ 21, 2017 9:41 am

Συντρέχουσες...png
Συντρέχουσες...png (12.05 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές
Α) Σε τρίγωνο ABC με a=15, b=13, c=12, να δείξετε ότι το ύψος AD, η διχοτόμος BE και η διάμεσος CZ συντρέχουν.

B) Γενικεύστε για τυχαίο οξυγώνιο τρίγωνο και βρείτε μία σχέση ανάμεσα στις πλευρές του, ώστε οι παραπάνω ευθείες να συντρέχουν.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13459
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συντρέχουσες ευθείες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Σεπ 21, 2017 2:11 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Σεπ 21, 2017 9:41 am
Συντρέχουσες...png
Α) Σε τρίγωνο ABC με a=15, b=13, c=12, να δείξετε ότι το ύψος AD, η διχοτόμος BE και η διάμεσος CZ συντρέχουν.

B) Γενικεύστε για τυχαίο οξυγώνιο τρίγωνο και βρείτε μία σχέση ανάμεσα στις πλευρές του, ώστε οι παραπάνω ευθείες να συντρέχουν.
Πάω απευθείας στο B), με χρήση Ceva. H σχέση

\displaystyle{ \frac {BD}{DC} \cdot \frac {CE}{EA} \cdot \frac {AZ}{ZA} = 1} γράφεται

\displaystyle{ \frac {c\cos B}{b \cos C} \cdot \frac {a}{c} \cdot \frac {1}{1} = 1} ισοδύναμα

\boxed {a \cos B= b \cos C} . Αλλιώς \displaystyle{ \boxed {\frac {a^2+c^2-b^2}{2c} = \frac {a^2+b^2-c^2}{2a} }}

(βέβαια απλοποιείται κάπως).

Για την περίπτωση του αριθμητικού παραδείγματος στο Α) (που είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον ότι οι πλευρές είναι ακέραιες) εύκολα υπολογίζουμε τα ζητούμενα


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης