Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 772
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τετ Σεπ 13, 2017 10:18 pm

GEOMETRIA192B.png
GEOMETRIA192B.png (41.18 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές
Εστω τρίγωνο ABC, P τυχαίο σημείο της βάσης του BC και M το μέσον της.

Ο περίκυκλος APM τέμνει τον περίκυκλο ABC στο Q.

Aν οι παράλληλες δια των B, C προς τις AC, AB αντίστοιχα, τέμνουν την QA στα S, T αντίστοιχα,

δείξτε οτι : (PST)=2(ABC)


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2034
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Σεπ 14, 2017 9:41 pm

Δια των σημείων S,\ T, φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς την AP, οι οποίες τέμνουν την ευθεία BC στα σημεία D,\ E, αντιστοίχως.

Ισχύει, (PST) = (SAP) + (TAP) = (DAP) + (EAP) = (ADE)\ \ \ ,(1)

Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ZB\parallel AP\ \ \ ,(2) όπου Z είναι το μέσον του AS.

Από SD\parallel ZB\parallel AP τώρα και ZA = ZS προκύπτει \boxed{BD = BP}\ \ \ ,(3) και ομοίως αποδεικνύεται ότι \boxed{EC = CP}\ \ \ ,(4)

Από (3), (4)\Rightarrow DE = 2BC\ \ \ ,(5)

Από (5)\Rightarrow (ADE) = 2(ABC)\ \ \ ,(6)

Από (1),\ (6)\Rightarrow \boxed{(PST) = 2(ABC)} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
f=178_t=59738.png
Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο.
f=178_t=59738.png (28.35 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τραπέζιο ABCD με AB\parallel CD και έστω M,\ N, τα μέσα των BC,\ AD, αντιστοίχως. O περίκυκλος έστω (O) του τριγώνου \vartriangle ABC, επανατέμνει την AD στο σημείο E και ο περίκυκλος έστω (K) του τριγώνου \vartriangle MAE, επανατέμνει την BC στο σημείο Z. Αποδείξτε ότι CN\parallel AZ.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2034
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Παρ Σεπ 15, 2017 12:53 am

vittasko έγραψε:
Πέμ Σεπ 14, 2017 9:41 pm
ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται τραπέζιο ABCD με AB\parallel CD και έστω M,\ N, τα μέσα των BC,\ AD, αντιστοίχως. O περίκυκλος έστω (O) του τριγώνου \vartriangle ABC, επανατέμνει την AD στο σημείο E και ο περίκυκλος έστω (K) του τριγώνου \vartriangle MAE, επανατέμνει την BC στο σημείο Z. Αποδείξτε ότι NC\parallel AZ.
f=178_t=59738(a).png
Ισεμβαδικότητα σε τρίγωνο - Απόδειξη του Λήμματος.
f=178_t=59738(a).png (28.07 KiB) Προβλήθηκε 363 φορές
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο ABCE και MN\parallel AB έχουμε \angle CEN = \angle ABC = \angle NMC\ \ \ ,(1)

Από (1) προκύπτει ότι το τετράπλευρο EMCN είναι εγγράωιμο και άρα, ισχύει \angle CND = \angle ZME\ \ \ ,(2)

Από (2) και \angle ZME = \angle ZAE , λόγω του εγγραψίμου τετραπλεύρου AMZE , προκύπτει \angle CND = \angle ZAE\ \ \ ,(3)

Από (3)\Rightarrow \boxed{NC\parallel AZ} και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες