Xρυσή παραλληλία

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα -μετά από καιρό- σε όλους!

: 3-9-17 Χρυσή παραλληλία.PNG (6.32 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $\widehat{A}=2\widehat{C}$ και

το μέσον της πλευράς

. Στην προέκταση της

παίρνουμε

.

H

τέμνει την

στο

και την διχοτόμο

στο

. Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

. Αν είναι AI=BD

τότε

Να εξεταστεί αν ισχύει : $BH\parallel DZ$

Ευχαριστώ , Γιώργος .

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα -μετά από καιρό- σε όλους!
3-9-17 Χρυσή παραλληλία.PNG
Δίνεται τρίγωνο με $\widehat{A}=2\widehat{C}$ και το μέσον της πλευράς . Στην προέκταση της παίρνουμε .

H τέμνει την στο και την διχοτόμο στο . Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Αν είναι τότε

Να εξεταστεί αν ισχύει : $BH\parallel DZ$

Ευχαριστώ , Γιώργος .

Καλημέρα σε όλους!

: Χρυσή παραλληλία.png (16.59 KiB) Προβλήθηκε 551 φορές

Έστω

όπως φαίνεται στο σχήμα. Οπότε, AI=BD=KC, MI=MK.

Επειδή $\widehat A=2\widehat C,$ θα είναι ως γνωστόν $\boxed{a^2=c^2+bc}$ (1)

Είναι ακόμα:

$\displaystyle{\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{b + c}}{a} \Leftrightarrow \frac{{AI}}{{AD}} = \frac{{b + c}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{b + c}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow \frac{c}{b} = \frac{{b + c}}{{a + b + c}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{c^2=b^2-ac}$ (2)

Από

$\displaystyle{(a - b)(a + b + c) = 0 \Leftrightarrow a = b\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {b^2} - bc - {c^2} = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{a = b = c \cdot \Phi }$ , $\displaystyle{\left( {\Phi = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}} \right)}$

Θεώρημα Μενελάου στο EID

με διατέμνουσα AZB:

$\displaystyle{\frac{{EZ}}{{ZI}} \cdot \frac{{AI}}{{AD}} \cdot \frac{{BD}}{{BE}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{EZ}}{{ZH}} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{c}{b} = 1 \Leftrightarrow \frac{{EZ}}{{ZH}} = {\Phi ^2}}$

Αλλά, $\displaystyle{\frac{{ED}}{{BD}} = \frac{{c + BD}}{{BD}} = \frac{c}{{BD}} + 1 = \frac{{AE}}{{AD}} + 1 = \frac{b}{c} + 1 = \Phi + 1 = {\Phi ^2} = \frac{{EZ}}{{ZH}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{BH||DZ}$

Xρυσή παραλληλία

Xρυσή παραλληλία

Re: Xρυσή παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση