Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9449
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 29, 2017 5:46 pm

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC, αν γνωρίζουμε τη γωνία \widehat A=\omega, τη διχοτόμο AD=d

και το εμβαδόν του (ABC)=k^2.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Αύγ 29, 2017 7:14 pm

Κατασκευή.png
Κατασκευή.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές
Κατασκευάζουμε το ισοσκελές τρίγωνο ASP , το οποίο έχει γνωστό εμβαδόν ,

έστω m^2 . Αν \displaystyle ABC είναι το ζητούμενο τρίγωνο και PT \parallel AB , τότε αρκεί :

(PTC)=k^2-m^2\Rightarrow xy=\dfrac{2(k^2-m^2)}{sinA} . Αλλά είναι : \dfrac{x}{b-x}=\dfrac{y}{b+y} ,

οπότε : y-x=\dfrac{4(k^2-m^2)}{b sinA} , ( b γνωστό ) . Τα τμήματα λοιπόν x,y , έχουν

γνωστό γινόμενο και γνωστή διαφορά , οπότε κατασκευάζονται κατά τα γνωστά .


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4293
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Αύγ 30, 2017 12:49 am

Μια άλλη προσέγγιση: Αφού το εμβαδόν είναι γνωστό και η γωνία \widehat A είναι γνωστή το γινόμενο AB \cdot AC είναι γνωστό και κατασκευάσιμο. Αφού και η διχοτόμος είναι γνωστή τότε αφού AB\cdotAC=AD^{2}+BD\dot CD είναι γνωστό και κατασκευάσιμο το γινόμενο BD \cdot CD ας πούμε ότι είναι ίσο με m^2. Κατασκευάσουμε τμήμα AD και τις ευθείες AB, AC.
areabis.png
areabis.png (16.44 KiB) Προβλήθηκε 463 φορές
Κατασκευάζουμε το αντίστροφο της ευθείας AB ως προς την ανtιστροφή με κέντρο D και δύναμη -m που είναι κύκλος. Επιλέγουμε ένα από τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία AC. Θα είναι το C οπότε και το B κατασκευάζεται.
Αν επιλέξουμε την άλλη τομή θα οδηγηθούμε σε τρίγωνο ίσο με το προηγούμενο.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Αύγ 30, 2017 3:22 am

nsmavrogiannis έγραψε:Μια άλλη προσέγγιση: Αφού το εμβαδόν είναι γνωστό και η γωνία \widehat A είναι γνωστή το γινόμενο AB \cdot AC είναι γνωστό και κατασκευάσιμο. Αφού και η διχοτόμος είναι γνωστή τότε αφού AB\cdotAC=AD^{2}+BD\dot CD είναι γνωστό και κατασκευάσιμο το γινόμενο BD \cdot CD ας πούμε ότι είναι ίσο με m^2. Κατασκευάσουμε τμήμα AD και τις ευθείες AB, AC.
areabis.png
Κατασκευάζουμε το αντίστροφο της ευθείας AB ως προς την ανtιστροφή με κέντρο D και δύναμη -m που είναι κύκλος. Επιλέγουμε ένα από τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία AC. Θα είναι το C οπότε και το B κατασκευάζεται.
Αν επιλέξουμε την άλλη τομή θα οδηγηθούμε σε τρίγωνο ίσο με το προηγούμενο.

Πολύ μου άρεσε Νίκο!


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Αύγ 30, 2017 3:26 am

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Φέρνω τις αποστάσεις DZ,DK του D από τις AB,AC .
Προφανώς τα ορθογώνια τρίγωνα ZDA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KDA κατασκευάζονται αφού έχουν δεδομένη την υποτείνουσα AD = d και τη οξεία γωνία \boxed{\widehat \theta  = \frac{{\widehat \omega }}{2}}.

Φέρνω και την παράλληλη από το D προς την AB και τέμνει την AC στο L.

Έχω λοιπόν σταθερά : \left\{ \begin{gathered} 
  AZ = AK = v \hfill \\ 
  DZ = DK = u \hfill \\ 
  DL = s \hfill \\ 
  (ABC) = {k^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού.png
κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές
Είναι : (ABC) = (ABD) + (ACD) \Rightarrow \boxed{b + c = \frac{{2{k^2}}}{u}}\,\,(1) . λόγω της προφανους

ομοιότητας: \vartriangle CDL \approx \vartriangle CBA \Rightarrow \dfrac{{CL}}{{BA}} = \dfrac{{CD}}{{CB}} \Rightarrow \dfrac{{CL}}{{BA - CL}} = \dfrac{{CD}}{{CB - CD}} και άρα

\boxed{\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{s}}\,\,(2) . Από τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) προσδιορίζονται τα b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c και έτσι είναι

Δυνατή η κατασκευή του \vartriangle ABC.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5444
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Αύγ 30, 2017 8:04 am

Καλημέρα.

Ανάλυση:
Έστω x η απόσταση της B από την ευθεία AD και y η απόσταση της C από την AD. Τότε έχουμε \displaystyle{x + y = \frac{{2{k^2}}}{{d}}.}

Σύνθεση:
Παίρνουμε σαν βάση τη γωνία \angle xAy = \omega και σημείο D της διχοτόμου της, τέτοιο ώστε AD = d. Θεωρούμε τη παράλληλη ευθεία στην Ay που απέχει από αυτή απόσταση \displaystyle{x + y = \frac{{2{k^2}}}{{d}}.} Αν αυτή τμήσει την Ax στο B, τότε αν η BD τμήσει την Ay στο C έχουμε το ζητούμενο τρίγωνο ABC.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11665
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Αύγ 30, 2017 8:43 am

κατασκευή συμπλήρωμα.png
κατασκευή συμπλήρωμα.png (8.83 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές
Ας δώσω και κάποιες πρόσθετες πληροφορίες : Αν y-x=d και x\cdot y=s^2 , τότε η

κατασκευή των x,y που φαίνεται και στο σχήμα γίνεται ως εξής : Θεωρούμε κύκλο

διαμέτρου d και εφαπτόμενο τμήμα του TS=s . Η τέμνουσα SAB ,

η οποία διέρχεται από το κέντρο δίνει τα ζητούμενα x,y ( μας αρκεί το ένα ! )
Κατασκευή.png
Κατασκευή.png (15.13 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές
Η κατασκευή του παραδείγματος έγινε για διχοτόμο AD=4 και γωνία \hat{A} , για την οποία

είναι : \sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{3}{5} , οπότε \cos\dfrac{A}{2}=\dfrac{4}{5} και sinA=2sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}=\dfrac{24}{25} .

Τότε είναι (ASP)=m^2=12 και έστω ότι θέλουμε (ABC)=16=k^2 . Ακολουθώντας

τους τύπους της λύσης θα βρούμε y-x=\dfrac{10}{3} και xy=\dfrac{25}{3} , οπότε : x=\dfrac{5}{3} και y=5


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5444
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Αύγ 30, 2017 2:55 pm

Απλά επανέρχομαι στα πλαίσια της διερεύνησης (λίαν σημαντικό κομμάτι της λύσης), για να αναφέρω ότι το πρόβλημα αυτό έχει λύση αν

\displaystyle{\sin \angle \frac{A}{2} < \frac{{2{k^2}}}{{{d^2}}}.}


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9449
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 30, 2017 6:16 pm

Το πρόβλημα ανάγεται στο να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC, από τη γωνία \widehat A=\omega, τη διχοτόμο AD=d

και το άθροισμα b+c=\lambda (αποδείχθηκε από τον Νίκο Φραγκάκη ότι είναι σταθερό).
Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού.png
Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού.png (21.15 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές
Κατασκευάζω γωνία x\widehat Ay=\omega και έστω σημείο D τη διχοτόμου της, ώστε AD=d. Επειδή το άθροισμα b+c είναι σταθερό,

από το θεώρημα MacLaurin το σημείο S της διχοτόμου θα είναι σταθερό, άρα και το τμήμα DS. Γράφω τα τόξα με κοινή χορδή

DS που δέχονται γωνία \theta=\dfrac{\omega}{2}. Αυτά τα τόξα τέμνουν τις Ax, Ay στις άλλες δύο κορυφές B, C του ζητούμενου τριγώνου ABC.

(Το ένα τόξο αρκεί, ώστε να προσδιοριστεί η μία κορυφή. Η άλλη προκύπτει με τη βοήθεια αυτής και του σημείου D)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7262
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή τριγώνου με τη βοήθεια εμβαδού

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Αύγ 30, 2017 6:58 pm

Mα αυτά και μ αυτά (Ανάλυση και κατασκευή από τον Θανάση, Λύση με αντιστροφή (ουάου!) από τον Νίκο, διερεύνηση από τον Σωτήρη και λύση με το Θ. Maclaurin από το Γιώργο) ή άσκηση αποκτά δυνατή διδακτική αξία.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης