Ορθόκεντρο 2

KARKAR · #1

: Ορθόκεντρο.png (19.49 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

Από το άκρο

της διαμέτρου

ενός κύκλου , διέρχεται τμήμα

, του οποίου

το

είναι το μέσο . Ο κύκλος (A,C,D)

τέμνει τον αρχικό κύκλο και στο σημείο

.

Δείξτε ότι το ορθόκεντρο

του τριγώνου ACD

, βρίσκεται πάνω στο τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε:Ορθόκεντρο.pngΑπό το άκρο της διαμέτρου ενός κύκλου , διέρχεται τμήμα , του οποίου το είναι το μέσο . Ο κύκλος τέμνει τον αρχικό κύκλο και στο σημείο .Δείξτε ότι το ορθόκεντρο του τριγώνου , βρίσκεται πάνω στο τμήμα .

: Ορθόκεντρο 2.png (28.83 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Έστω $E\equiv SH\cap \left( O \right)$ , όπου $\left( O \right)$ ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle ADC$ . Τότε με διάμετρο του κύκλου $\left( K \right) \Rightarrow \angle ASE \equiv \angle ASB = {90^0} \Rightarrow AE$

διάμετρο του $\left( O \right)$ και με το μέσο της χορδής του $CD \Rightarrow OB \bot CD$ $\mathop \Rightarrow \limits^{AA' \bot CD\left( {\angle AA'B = {{90}^0}\,\,\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\,\sigma \varepsilon \,\,\eta \mu \iota \kappa \upsilon \kappa \lambda \iota o} \right)}$ $\boxed{OB\parallel AA' \equiv AH}:\left( 1 \right)$

Στο τρίγωνο $\vartriangle EAB\mathop \Rightarrow \limits^{O\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,EA,OB\parallel AH} \boxed{AH = 2OB}:\left( 2 \right)$ .

Από την $\left( 2 \right)$ με επί του ύψους του τριγώνου $\vartriangle ADC$ προκύπτει (γνωστή πρόταση *) ότι το είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle ADC$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

(*) Το ορθόκεντρο τριγώνου απέχει διπλάσια απόσταση από κάθε κορυφή του από ότι το απόστημα που αντιστοιχεί στην πλευρά του αντιστοίχου (από την κορυφή) ύψους

Στάθης

Ορθόκεντρο 2

Ορθόκεντρο 2

Re: Ορθόκεντρο 2

Μέλη σε σύνδεση