Λογισμός με λόγους

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11361
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Λογισμός με λόγους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Αύγ 05, 2017 8:29 pm

λογισμός  με  λόγους.png
λογισμός με λόγους.png (12.78 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές
Προεκτείνουμε τις πλευρές BA,BC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC κατά τμήματα AD=d

και CE=e , ώστε τα d,a,e , να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Οι AE,CD τέμνονται στο S , ενώ οι AC,BS στο P . α) Δείξτε ότι : SA+SC=SB .

β) Υπολογίστε το λόγο \dfrac{AP}{PC} . Εφαρμογή για : a=3 ,d=2 , c=4.5



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1767
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λογισμός με λόγους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Αύγ 06, 2017 1:30 am

KARKAR έγραψε:λογισμός με λόγους.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές BA,BC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC κατά τμήματα AD=d

και CE=e , ώστε τα d,a,e , να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Οι AE,CD τέμνονται στο S , ενώ οι AC,BS στο P . α) Δείξτε ότι : SA+SC=SB .

β) Υπολογίστε το λόγο \dfrac{AP}{PC} . Εφαρμογή για : a=3 ,d=2 , c=4.5
1.\displaystyle{{\alpha ^2} = ed \Leftrightarrow \frac{d}{\alpha } = \frac{\alpha }{d} \Rightarrow \frac{{DA}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{EC}}}

Αλλά \displaystyle{\angle DAC = \angle ACE = {120^0}}.Άρα \displaystyle{\vartriangle DAC \simeq \vartriangle AEC} \displaystyle{ \Rightarrow } οι γωνίες \displaystyle{x} όπως και οι \displaystyle{\varphi } είναι ίσες

με \displaystyle{x + \varphi  = {60^0} \Rightarrow \angle ASC = {120^0} \Rightarrow ASCB} εγράψιμο

Τότε όμως (γνωστό) \displaystyle{\boxed{AS + SC = BS}}

2.\displaystyle{\vartriangle ASC \simeq \vartriangle DAC \Rightarrow \frac{{AS}}{{SC}} = \frac{d}{\alpha } \Rightarrow \frac{{AS}}{{BS}} = \frac{d}{{\alpha  + d}}(1)} και \displaystyle{\vartriangle \angle ESC \simeq \vartriangle ASB \Rightarrow \frac{{BS}}{{SE}} = \frac{\alpha }{e}(2)}

\displaystyle{(1) \cdot \left( 2 \right) \Rightarrow \frac{{AS}}{{SE}} = \frac{{ad}}{{e\left( {a + d} \right)}}}.Αλλά στο \displaystyle{\vartriangle AEC} με διατέμνουσα \displaystyle{SPB} και Μενέλαο έχουμε

\displaystyle{\frac{{PA}}{{PC}} \cdot \frac{{BC}}{{EB}} \cdot \frac{{SE}}{{SA}} = 1 \Rightarrow \boxed{\frac{{PA}}{{PC}} = \frac{{EB}}{{BC}} \cdot \frac{{SA}}{{SE}} = \frac{d}{e} \cdot \frac{{a + e}}{{a + d}}}}

Πιο σύντομα

\displaystyle{\frac{{BS}}{{SE}} = \frac{a}{e}} προκύπτει από θ. διχοτόμου στο \displaystyle{\vartriangle BSE} και ο λόγος \displaystyle{\frac{{AS}}{{SE}}} από τα όμοια τρίγωνα \displaystyle{ASC,ASE}
λογισμός με λόγους.png
λογισμός με λόγους.png (19.16 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Κυρ Αύγ 06, 2017 4:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λογισμός με λόγους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Αύγ 06, 2017 8:24 am

KARKAR έγραψε:λογισμός με λόγους.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές BA,BC του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC κατά τμήματα AD=d

και CE=e , ώστε τα d,a,e , να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Οι AE,CD τέμνονται στο S , ενώ οι AC,BS στο P . α) Δείξτε ότι : SA+SC=SB .

β) Υπολογίστε το λόγο \dfrac{AP}{PC} . Εφαρμογή για : a=3 ,d=2 , c=4.5
Αλλιώς για το β)
Λογισμός με λόγους.png
Λογισμός με λόγους.png (16.93 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές
Έστω \lambda ο λόγος της προόδου. Από τα όμοια τρίγωνα ACS, ACE είναι \displaystyle{\frac{{AS}}{{SC}} = \frac{a}{e} = \frac{1}{\lambda }}

και από θεώρημα διχοτόμου στο ACS, \boxed{\frac{{PA}}{{PC}} = \frac{1}{\lambda }}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Γιώργος Ρίζος και 2 επισκέπτες