Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9668
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 01, 2017 6:57 pm

Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου.png
Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου.png (17.69 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές
Δύο κύκλοι (O, R), (K, r), R>r εφάπτονται εξωτερικά. Μία κοινή εξωτερική εφαπτομένη τους εφάπτεται στον κύκλο (O)

στο B και τέμνει τη διάκεντρο των δύο κύκλων στο A. Να υπολογίσετε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

ABO συναρτήσει των R, r. (Εφαρμογή: R=9, r=4).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Αύγ 01, 2017 10:32 pm

Για την εφαρμογή:

Έστω πως η AB εφάπτεται στον κύκλο κέντρου K στο C.

Έστω πως AC=x.

Έχουμε λόγω της παραλληλίας των KC και OB πως \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{KC}{OB}=\dfrac{9}{4}

Επομένως AB=\dfrac{9AC}{4}=\dfrac{9x}{4}.

Ακόμη από το ορθογώνιο ACK έχουμε πως AK=\sqrt{x^2+16}.

Από το ορθογώνιο ABO έχουμε πως:

AB^2+BO^2=AO^2\Leftrightarrow \dfrac{81x^2}{16}+81=(\sqrt{x^2+16}+KO)^2=(\sqrt{x^2+16}+13)^2\Leftrightarrow...\Leftrightarrow x=\dfrac{48}{5}.

Άρα AB=\dfrac{108}{5}.

Άρα εύκολα βρίσκουμε πως AO=\dfrac{117}{5}.

Άρα βρίσκουμε πως (ABO)=\dfrac{486}{5}

.Ακόμη η ημιπερίμετρος του τριγώνου ABO είναι 27.

Ξέρουμε όμως πως η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου είναι ίση με \dfrac{E}{s}, όπου E και s το εμβαδόν και η ημιπερίμετρός του αντίστοιχα.

Άρα στο τρίγωνο ABO η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με \dfrac{18}{5}.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4036
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Αύγ 01, 2017 10:47 pm

george visvikis έγραψε:Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου.png
Δύο κύκλοι (O, R), (K, r), R>r εφάπτονται εξωτερικά. Μία κοινή εξωτερική εφαπτομένη τους εφάπτεται στον κύκλο (O)

στο B και τέμνει τη διάκεντρο των δύο κύκλων στο A. Να υπολογίσετε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

ABO συναρτήσει των R, r. (Εφαρμογή: R=9, r=4).
\dfrac{{r + R}}{{OA}} = \dfrac{{R - r}}{R} \Rightarrow \boxed{OA = \dfrac{{R\left( {R + r} \right)}}{{R - r}}}, \dfrac{{AB}}{{2\sqrt {Rr} }} = \dfrac{{OA}}{{r + R}} = \dfrac{R}{{R - r}} \Rightarrow \boxed{AB = \dfrac{{2R\sqrt {Rr} }}{{R - r}}}

Ετσι \left( {ABO} \right) = \dfrac{{AB \cdot OB}}{2} = \dfrac{{2{R^2}\sqrt {Rr} }}{{2\left( {R - r} \right)}} = \dfrac{{{R^2}\sqrt {Rr} }}{{R - r}} και ημιπερίμετρος του τριγώνου \vartriangle AOB είναι

\tau  = \dfrac{{AB + BO + OA}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{2R\sqrt {Rr} }}{{R - r}} + R + \dfrac{{R\left( {R + r} \right)}}{{R - r}}}}{2} = \dfrac{{R\left( {2\sqrt {Rr}  + 2R} \right)}}{{2\left( {R - r} \right)}} = \dfrac{{R\left( {\sqrt {Rr}  + R} \right)}}{{R - r}} και από

\left( {ABO} \right) = \tau  \cdot \rho  \Rightarrow \rho  = \dfrac{{\left( {ABO} \right)}}{\tau } = \dfrac{{\dfrac{{{R^2}\sqrt {Rr} }}{{R - r}}}}{{\dfrac{{R\left( {\sqrt {Rr}  + R} \right)}}{{R - r}}}} \Rightarrow \boxed{\rho  = \dfrac{{R\sqrt {Rr} }}{{\sqrt {Rr}  + R}} = \dfrac{{R\sqrt r }}{{\sqrt R  + \sqrt r }}}.


Στάθης

Υ.Σ.
Μην περιμένετε λεπτομέρειες αυτή την περίοδο ούτε σχήματα :oops: γιατί προηογύνται άλλα! :D


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7419
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 01, 2017 11:46 pm

george visvikis έγραψε:Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου.png
Δύο κύκλοι (O, R), (K, r), R>r εφάπτονται εξωτερικά. Μία κοινή εξωτερική εφαπτομένη τους εφάπτεται στον κύκλο (O)

στο B και τέμνει τη διάκεντρο των δύο κύκλων στο A. Να υπολογίσετε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

ABO συναρτήσει των R, r. (Εφαρμογή: R=9, r=4).
Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου.png
Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου.png (27.97 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές
Στο σχήμα υπολογίζω την ακτίνα x του εγγεγραμμένου κύκλου στο \vartriangle PAK. Είναι

δε γνωστό ότι PB = \sqrt {Rr}

Από την ομοιότητα \vartriangle PAK \approx \vartriangle BAO έχω : \left\{ \begin{gathered} 
  u = \frac{{2{r^2}}}{{R - r}} \hfill \\ 
  k = \frac{{2r\sqrt {Rr} }}{{R - r}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και άρα η περίμετρος του


\vartriangle PAK είναι 2s = (u + r) + k + r , αφού δε το \vartriangle PAK είναι ορθογώνιο


\boxed{x = s - AK = \frac{{k - u}}{2} = \frac{{r(\sqrt {Rr}  - r)}}{{R - r}}} Και έτσι \rho  = \dfrac{R}{r}x \Rightarrow \boxed{\rho  = \frac{{R(\sqrt {Rr}  - r)}}{{R - r}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης