Διχοτόμηση πλευράς

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Διχοτόμηση πλευράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιούλ 25, 2017 7:13 pm

Διχοτόμηση πλευράς ισοπλεύρου.png
Διχοτόμηση πλευράς ισοπλεύρου.png (15.82 KiB) Προβλήθηκε 607 φορές
Τη πλευρά CB ισοπλεύρου\vartriangle ABC προεκτείνω προς το B κατά τμήμα BS = BC,

Αν SE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SDτα εφαπτόμενα τμήματα προς τον κύκλο (A,B,C), δείξετε ότι η

DE διέρχεται από το μέσο της AB.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8932
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διχοτόμηση πλευράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 26, 2017 10:05 am

Doloros έγραψε:Διχοτόμηση πλευράς ισοπλεύρου.png

Τη πλευρά CB ισοπλεύρου\vartriangle ABC προεκτείνω προς το B κατά τμήμα BS = BC,

Αν SE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SDτα εφαπτόμενα τμήματα προς τον κύκλο (A,B,C), δείξετε ότι η

DE διέρχεται από το μέσο της AB.
Διχοτόμηση πλευράς.png
Διχοτόμηση πλευράς.png (27.17 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές
Έστω a η πλευρά του ισοπλεύρου και SD=SE=x, MB=y, MD=z.

Είναι: \displaystyle{{x^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 } και \displaystyle{SA = a\sqrt 3 } (από το ορθογώνιο τρίγωνο ASC με γωνίες 30^0-60^0-90^0).

Με θεώρημα Stewart διαδοχικά στα τρίγωνα SAB, SED και τέμνουσα SM βρίσκω:

\displaystyle{S{M^2} = {y^2} + ay + {a^2},S{M^2} = {z^2} - zDE + 2{a^2} \Rightarrow } \boxed{{y^2} - {z^2} = {a^2} - zDE - ay} (1)

Αλλά, \displaystyle{AM \cdot MB = DM \cdot ME \Leftrightarrow y(a - y) = z(DE - z) \Leftrightarrow } \boxed{{y^2} - {z^2} = ay - zDE} (2)

Από (1), (2), \boxed{y=\frac{a}{2}} και το ζητούμενο έπεται.

Θα ψάξω και για καλύτερη λύση (η παρούσα δεν με ικανοποιεί)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτόμηση πλευράς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιούλ 26, 2017 12:59 pm

Μια λύση με αναλυτική γεωμετρία ( Αφού ο κ. Ρίζος μάλλον παραθερίζει)

Διχοτόμηση πλευράς ισοπλεύρου τριγώνου_Περού.png
Διχοτόμηση πλευράς ισοπλεύρου τριγώνου_Περού.png (13.91 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές
Θεωρούμε Καρτεσιανό σύστημα αξόνων με αρχή O(0,0) το μέσο του BC ,

Οριζόντιο άγονα την ευθεία BC και μοναδιαίο του διάνυσμα \overleftrightarrow i = \overrightarrow {OC}. Θα είναι έτσι :

B( - 1,0),\,\,S( - 3,0),\,\,A(0,\sqrt 3 ) . Ο κύκλος θα έχει ακτίνα R = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3} άρα εξίσωση

{x^2} + {(y - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3})^2} = \dfrac{4}{3} . Η πολική του S ως προς τον κύκλο θα έχει εξίσωση :

- 3x + (y - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3})(0 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}) = \dfrac{4}{3} ή \boxed{9x + \sqrt 3 y =  - 3}\,\,(1) . Η ευθεία DE έχει εξίσωση :

\dfrac{x}{{ - 1}} + \dfrac{y}{{\sqrt 3 }} = 1 \Leftrightarrow \boxed{3x - \sqrt 3 y =  - 3}\,\,(2) Προσθέτω κατά μέλη τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) κι έχω :

x =  - \dfrac{1}{2} δηλαδή η τετμημένη του M αντιστοιχεί στο μέσο του BO άρα και το M

είναι μέσο του DE. Η αλλιώς από το σύστημα των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) έχω : \boxed{M( - \frac{1}{2},\frac{3}{2})}

που είναι το μέσο του AB.

Παρατήρηση: Η άσκηση έχει τουλάχιστον μια ακόμα λύση με Ευκλείδεια Γεωμετρία.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 800
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διχοτόμηση πλευράς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Ιούλ 26, 2017 2:54 pm

Μια λύση με ευκλείδεια :D :
Διχοτόμηση πλευράς.png
Διχοτόμηση πλευράς.png (26.74 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές
Έστω O το κέντρο του κύκλου και M το μέσο της AB.

Φέρνουμε από τα A, B εφαπτομένες στον κύκλο και έστω K το σημείο τομής τους.

Προφανώς η πολική του K είναι η AB.

Ακόμη λόγω του ισοπλεύρου έχουμε πως η KA είναι παράλληλη με την BC και ότι η KB είναι παράλληλη με την AC.

Επομένως έχουμε πως το AKBC είναι παραλληλόγραμμο, άρα το M είναι το μέσο του KC.

Όμως έχουμε και ότι το B είναι το μέσο του SC.

Επομένως SK//AB.

Όμως αφού OM\perp AB, έχουμε πως OM\perp SK (1).

Έχουμε πως το M ανήκει στην AB, δηλαδή στην πολική του K, άρα και το K θα ανήκει στην πολική του M (2).

Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε πως το S ανήκει στην πολική του M, δηλαδή το M ανήκει στην πολική του S, δηλαδή ανήκει στην DE.

Πράγματι λοιπόν το DE διχοτομεί την AB.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τετ Ιούλ 26, 2017 3:29 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτόμηση πλευράς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιούλ 26, 2017 3:22 pm

Έστω H το μέσο του BC και N η τομή των ευθειών BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE. Ακόμα δε ας

είναι T η τομή των ευθειών AH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DE.

Επειδή η τετράδα (A,N\backslash B,C) είναι αρμονική , αν η πλευρά του ισοπλεύρου

τριγώνου a = 6k\,\,,\,\,k > 0 θα είναι \left\{ \begin{gathered} 
  SB = 6k \hfill \\ 
  BN = 2k \hfill \\ 
  NH = k \hfill \\ 
  HC = 3k \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Απο Περού_ με αρμονία και πολικές.png
Απο Περού_ με αρμονία και πολικές.png (25.11 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές
Επειδή η πολική του S ως προς τον κύκλο ( δηλαδή η DE) διέρχεται από τα

N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T η πολική του T θα διέρχεται από το S και άρα η πολική του T είναι η

BC δηλαδή το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου στα B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C είναι το {\rm T}

που προφανώς είναι το συμμετρικό του A ως προς την BC γιατί το \vartriangle ABC είναι

ισόπλευρο .

Από το Θ. Μενελάου στο \vartriangle ABH με διατέμνουσα τη \overline {MNT} έχω :

\dfrac{{AM}}{{MB}} \cdot \dfrac{{BN}}{{NH}} \cdot \dfrac{{AT}}{{TA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MB}} \cdot \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{2} = 1 \Rightarrow \boxed{AM = MB}.

Edit: έκανα μια διόρθωση τυπογραφικού λάθους στη φράση "Από το Θ. του Μενελάου "
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τετ Ιούλ 26, 2017 3:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτόμηση πλευράς

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιούλ 26, 2017 3:31 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Μια λύση με ευκλείδεια :D : (σε λίγο και το σχήμα)

Έστω O το κέντρο του κύκλου και M το μέσο της AB.

Φέρνουμε από τα A, B εφαπτομένες στον κύκλο και έστω K το σημείο τομής τους.

Προφανώς η πολική του K είναι η AB.

Ακόμη λόγω του ισοπλεύρου έχουμε πως η KA είναι παράλληλη με την BC και ότι η KB είναι παράλληλη με την AC.

Επομένως έχουμε πως το AKBC είναι παραλληλόγραμμο, άρα το M είναι το μέσο του KC.

Όμως έχουμε και ότι το B είναι το μέσο του SC.

Επομένως SK//AB.

Όμως αφού OM\perp AB, έχουμε πως OM\perp SK (1).

Έχουμε πως το M ανήκει στην AB, δηλαδή στην πολική του K, άρα και το K θα ανήκει στην πολική του M (2).

Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε πως το S ανήκει στην πολική του M, δηλαδή το M ανήκει στην πολική του S, δηλαδή ανήκει στην DE.

Πράγματι λοιπόν το DE διχοτομεί την AB.

Ωραία Διονύση . :clap2: Στο βάθος του τούνελ κάτι φαίνεται ακόμα . ίδωμεν


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 800
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διχοτόμηση πλευράς

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Ιούλ 26, 2017 3:48 pm

Σας ευχαριστώ κύριε Νίκο.

Ένα επιπλέον ερώτημα:

Να αποδειχθεί ότι το KEDS είναι εγγράψιμο. (τα σημεία είναι σύμφωνα με την λύση που έδωσα παραπάνω).


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτόμηση πλευράς

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιούλ 26, 2017 4:05 pm

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Σας ευχαριστώ κύριε Νίκο.

Ένα επιπλέον ερώτημα:

Να αποδειχθεί ότι το KEDS είναι εγγράψιμο. (τα σημεία είναι σύμφωνα με την λύση που έδωσα παραπάνω).
Εχτρα Διονύση.png
Εχτρα Διονύση.png (35.21 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές
Ο κύκλος που διέρχεται από τα S,D,E θα διέρχεται κι από το κέντρο O του περιγεγραμμένου κύκλου του \vartriangle ABC

και θα έχει διάμετρο την SO, συνεπώς θα διέρχεται κι από τοK αφού \widehat {SKO} = 90^\circ


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 800
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διχοτόμηση πλευράς

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Ιούλ 26, 2017 5:02 pm

Από το τελευταίο αποτέλεσμα μάλιστα προκύπτει το πρώτο ζητούμενο :!: με αντιστροφή:

Θεωρούμε κύκλο αντιστροφής τον κύκλο μας (τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC) και έπειτα έχουμε πως:

Το K γίνεται το M.

Το S γίνεται το μέσο της DE.

Τα D, E μένουν σταθερά.

Αφού όμως έχουμε πως το KEDS είναι εγγράψιμο και μάλιστα ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του περνάει από το O, έχουμε πως ο περιγεγραμμένος κύκλος του γίνεται μια ευθεία, δηλαδή η DE.

Άρα το αντίστροφο του K ανήκει στην DE, με άλλα λόγια το M ανήκει στην DE.


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης