Παραλληλία και τριχοτόμηση

KARKAR · #1

: Παραλληλία και τριχοτόμηση.png (12.19 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

Από σημείο

της προέκτασης της διαμέτρου

ενός κύκλου , φέραμε

τα εφαπτόμενα τμήματα SP , ST

. Το τμήμα που συνδέει το

με το μέσο

του

, τέμνει τον κύκλο στο

και την

στο

. Επιλέξτε κατάλληλο

,

ώστε να είναι : $AT \parallel PM$ και δείξτε , ότι τότε είναι : PN=NL=LM

#2

: παραλληλία και τριχοτόμηση.png (33.7 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές

Ας είναι

το κέντρο του κύκλου και

η τομή των $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PT$ . Προφανώς

$AB \bot PT$ . Επειδή AT//PM

θα είναι και το

μέσο του

.

Θέτω $BL = 2x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OK = y$ . Επειδή το τετράπλευρο ATLP

είναι ρόμβος

Θα είναι $AK = KL \Rightarrow AO + OK = KB + NL \Rightarrow R + y = (R - y) + 2x \Rightarrow \boxed{x = y}$

Δηλαδή $OK = x,\,\,BL = 2x$ . Από την αρμονική αναλογία : $\dfrac{{BK}}{{BS}} = \dfrac{{AK}}{{AS}}$ προκύπτει : $\boxed{x = \dfrac{1}{4}R = OK}$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle PKL$ και τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο έχουμε :

$PL = 2x\sqrt {10} \,\,\kappa \alpha \iota \,\,NL = x\sqrt {10}$ και αφού το

είναι το βαρύκεντρο του $\vartriangle PTS$ θα

έχουμε: PN = NL = LM

.

#3

KARKAR έγραψε:Παραλληλία και τριχοτόμηση.pngΑπό σημείο της προέκτασης της διαμέτρου ενός κύκλου , φέραμε

τα εφαπτόμενα τμήματα . Το τμήμα που συνδέει το με το μέσο

του , τέμνει τον κύκλο στο και την στο . Επιλέξτε κατάλληλο ,

ώστε να είναι : $AT \parallel PM$ και δείξτε , ότι τότε είναι :

: Παραλληλία και τριχοτόμηση.png (26.2 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Έστω $\displaystyle{ML = a \Leftrightarrow AP = AT = 2a}$ κι επειδή

είναι το βαρύκεντρο του SPT

θα είναι $\displaystyle{PL = 2a \Rightarrow PL|| = AT},$

άρα το APLT

είναι ρόμβος και αν θέσω AS=x,

θα είναι $LS=\dfrac{x}{2}, AK=KL=\dfrac{x}{4}.$

$\displaystyle{\cos \omega = \frac{{2a}}{{2r}} = \frac{{AK}}{{2a}} \Leftrightarrow \frac{a}{r} = \frac{x}{{8a}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{8a^2=rx}$ (1)

$\displaystyle{SB \cdot SA = S{P^2} = P{K^2} + K{S^2} \Leftrightarrow x(x - 2r) = 4{a^2} - \frac{{{x^2}}}{{16}} + {\left( {\frac{x}{2} + \frac{x}{4}} \right)^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$ $\boxed{AS=x=5r}$

$\displaystyle{8{a^2} = 5{r^2} \Leftrightarrow {\cos ^2}\omega = \frac{5}{8} \Rightarrow \cos 2\omega = \frac{1}{4}}$ και από νόμο συνημιτόνων στο TNL(TN=TL=2a),

παίρνω

που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Παραλληλία και τριχοτόμηση

Παραλληλία και τριχοτόμηση

Re: Παραλληλία και τριχοτόμηση

Re: Παραλληλία και τριχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση