Ορθή

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11344
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιουν 10, 2017 1:34 pm

Ορθή.png
Ορθή.png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές
Στη βάση BC του πλευράς a ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC, θεωρούμε σημείο S .

Ο κύκλος (O) που ορίζουν τα A,S,B τέμνει την AC στο P . Για ποια θέση

του σημείου S , είναι \widehat{POS}=90^0 ;



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 338
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Ορθή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Ιουν 10, 2017 2:17 pm

KARKAR έγραψε:Ορθή.pngΣτη βάση BC του πλευράς a ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC, θεωρούμε σημείο S .

Ο κύκλος (O) που ορίζουν τα A,S,B τέμνει την AC στο P . Για ποια θέση

του σημείου S , είναι \widehat{POS}=90^0 ;


nikkru
Δημοσιεύσεις: 338
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Ορθή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Ιουν 10, 2017 5:06 pm

KARKAR έγραψε:Ορθή.pngΣτη βάση BC του πλευράς a ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC, θεωρούμε σημείο S .

Ο κύκλος (O) που ορίζουν τα A,S,B τέμνει την AC στο P . Για ποια θέση

του σημείου S , είναι \widehat{POS}=90^0 ;
Ας δούμε την λύση και την κατασκευή του σημείου S.

Ορθή.png
Ορθή.png (22.61 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές
Το τετράπλευρο ABSP είναι ισοσκελές τραπέζιο αφού \widehat{A}=\widehat{B} και
είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο O.

Η CO διχοτομείς τις γωνίες A\widehat{C}B,A\widehat{O}B, οπότε στο ισοσκελές τρίγωνο OBS είναι B\widehat{O}S=30^{o} δηλαδή BS=\lambda _{12}.

Για την κατασκευή του παρατηρούμε οτι το τρίγωνο OBC είναι ισοσκελές,

δηλαδή το σημείο O είναι το σημείο τομής του κύκλου \left ( C,CB \right ) και της μεσοκαθέτου του AB.

Με κέντρο το συμμετρικό A' του A ως προς το O και με ακτίνα A'O γράφουμε κύκλο που τέμνει την BC στο S.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8932
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ορθή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 10, 2017 5:59 pm

KARKAR έγραψε:Ορθή.pngΣτη βάση BC του πλευράς a ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC, θεωρούμε σημείο S .

Ο κύκλος (O) που ορίζουν τα A,S,B τέμνει την AC στο P . Για ποια θέση

του σημείου S , είναι \widehat{POS}=90^0 ;
Καλησπέρα!

Ισχύουν όλα όσα γράφει ο Nikkru πιο πάνω(δεν τα ξαναγράφω). Απλώς αλλάζει λίγο η κατασκευή. Γράφω τον κύκλο (C, CA)

που τέμνει τη μεσοκάθετο του AB στο O. Η τομή του κύκλου (O, OA) με την BC ορίζει το ζητούμενο σημείο S.
Ορθή.png
Ορθή.png (28.39 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές
Υπολογιστικά τώρα, αν a είναι η πλευρά του ισοπλεύρου, BS=x και R η ακτίνα του κόκκινου κύκλου τότε επειδή S\widehat OP=90^0

θα είναι \displaystyle{SC = PS = R\sqrt 2  \Leftrightarrow a - x = R\sqrt 2 } και R^2=xa, απ' όπου τελικά παίρνουμε \boxed{x=a(2-\sqrt 3)}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ορθή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιουν 10, 2017 6:48 pm

Κατασκευή .

Ας είναι a η πλευρά του ισοπλεύρου \vartriangle ABC

Γράφω το ημικύκλιο , (B,a) που διέρχεται από το A και έστω T το μέσο του .

Ο κύκλος διαμέτρου TS είναι ο ζητούμενος.

Απόδειξη.
ορθή απο ισόπλευρο.png
ορθή απο ισόπλευρο.png (48.92 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές
Το \vartriangle BTA \to (30^\circ ,75^\circ ,75^\circ ) άρα \widehat {TSB} = \widehat {TAB} = 75^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat \theta  = 45^\circ }\,\,(1)

\widehat {APT} = \widehat {ABT} = 30^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat x = 90}\,\,(1) , Οι (1)\kappa \alpha \iota \,\,(2) μας εξασφαλίζουν ότι το \vartriangle PTS

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , οπότε OP \bot OS.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης