Αναπάντεχα σταθερός λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10020
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Αναπάντεχα σταθερός λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 10, 2017 11:27 am

Αναπάντεχα σταθερός λόγος.png
Αναπάντεχα σταθερός λόγος.png (19.29 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές
Τα B, C είναι σταθερά σημεία ενός κύκλου (C_1), το A είναι μεταβλητό σημείο του ίδιου κύκλου, H είναι το ορθόκεντρο

του τριγώνου ABC, D το μέσο του τόξου \overset\frown{BC} που δεν περιέχει το A, ενώ η DH επανατέμνει τον (C_1) στο K. Έστω (C_2)

ο περίκυκλος του τριγώνου AKH. Η εφαπτομένη του (C_2) στο A τέμνει την DK στο M και τον κύκλο (C_1) ξανά στο N.

Να δείξετε ότι ο λόγος \dfrac{MA}{MN} είναι σταθερός.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4082
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Αναπάντεχα σταθερός λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μάιος 10, 2017 7:09 pm

george visvikis έγραψε:Αναπάντεχα σταθερός λόγος.png
Τα B, C είναι σταθερά σημεία ενός κύκλου (C_1), το A είναι μεταβλητό σημείο του ίδιου κύκλου, H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC, D το μέσο του τόξου \overset\frown{BC} που δεν περιέχει το A, ενώ η DH επανατέμνει τον (C_1) στο K. Έστω (C_2) ο περίκυκλος του τριγώνου AKH. Η εφαπτομένη του (C_2) στο A τέμνει την DK στο M και τον κύκλο (C_1) ξανά στο N.
Να δείξετε ότι ο λόγος \dfrac{MA}{MN} είναι σταθερός.
\bullet Έστω E το ίχνος του ύψους εκ του A του \vartriangle ABC και F\equiv DM\cap BC.

Τότε \angle MAK\mathop  = \limits^{\upsilon \pi o\;\chi o\rho \delta \eta \varsigma \;\kappa \alpha \iota \;\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma \;\tau o\upsilon \;\left( {{C_2}} \right)} \angle AHK\mathop  = \limits^{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu } \angle EHF:\left( 1 \right).

Επίσης \angle KAD\mathop  = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \;\tau o\upsilon \;\left( {{C_1}} \right)} \dfrac{{\tau o\xi .KBD}}{2} = \dfrac{{\tau o\xi .KB + \tau o\xi .BD}}{2}

\mathop  = \limits^{\tau o\xi .BD = \tau o\xi .DC} \dfrac{{\tau o\xi .KB + \tau o\xi .DC}}{2}\mathop  = \limits^{\gamma \omega \nu \iota \alpha \;\tau \varepsilon \mu \nu o\mu \varepsilon \nu \omega \nu \;\chi o\rho \delta \omega \nu } \angle KFB \equiv \angle HFB:\left( 2 \right).
[attachment=0]Αναπάντεχα σταθερός λόγος.png[/attachment]
\bullet Από \left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \angle MAK + \angle KAD = \angle EHF + \angle HFE \mathop  = \limits^{\vartriangle HEF\left( {\angle HEF = {{90}^0}} \right)} {90^0} \Rightarrow \angle MAD = {90^0} \Rightarrow \angle DAN = {90^0} \Rightarrow DN

διάμετρος του κύκλου \left( {{C_1}} \right) και με D το μέσο του τόξου BC \Rightarrow DN \bot BC\mathop  \Rightarrow \limits^{AH \bot BC} \boxed{AH\parallel DB}:\left( 3 \right).

Από τη σχέση \left( 3 \right) στο τρίγωνο \vartriangle MDN \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MN}} = \dfrac{{HA}}{{DN}} \mathop  = \limits^{HA = 2\left( {OP} \right) = 2d = ct(\gamma \nu \omega \sigma \tau \eta \;\pi \rho o\tau \alpha \sigma \eta ),DN = 2R = ct} \dfrac{{2d}}{{2R}} = \dfrac{d}{R} \Rightarrow

\dfrac{{MA}}{{MN - MA}} = \dfrac{d}{{R - d}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{MA}}{{NA}} = \dfrac{d}{{R - d}} = ct} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης
Συνημμένα
Αναπάντεχα σταθερός λόγος.png
Αναπάντεχα σταθερός λόγος.png (34 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης