Ορθογώνιο σε ισόπλευρο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11373
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ορθογώνιο σε ισόπλευρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μάιος 01, 2017 10:24 pm

Ορθογώνιο  σε ισόπλευρο.png
Ορθογώνιο σε ισόπλευρο.png (9.38 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές
Στη βάση BC=a , του ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , βρίσκεται σημείο S .

Επί των πλευρών AB,AC , θεωρούμε σημεία P,Q αντίστοιχα , ώστε : \widehat{PSQ}=90^0 .

α) Υπολογίστε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου SPQ ( συναρτήσει του BS=x )

β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου M της υποτείνουσας PQ αυτών

των ελαχίστου εμβαδού τριγώνων , καθώς το S διατρέχει την BC .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 774
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Ορθογώνιο σε ισόπλευρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τρί Μάιος 09, 2017 3:39 pm

Ορθογώνιο σε ισόπλευρο.png
Ορθογώνιο σε ισόπλευρο.png (53.07 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
Από το νόμο των ημιτόνων στα BPS, CQS έχουμε :

m=\dfrac{\sqrt3}{2} \dfrac{x}{sin(120^o-\phi)}, n=\dfrac{\sqrt3}{2} \dfrac{a-x}{sin(30^o+\phi)}

Το ζητούμενο εμβαδόν για την θέση x δίνεται : E=\dfrac{mn}{2}=\dfrac{3}{4} \dfrac{x(a-x)}{sin(120^o-\phi)sin(30^o+\phi)} που ελαχιστοποείται όταν το γινόμενο sin(120^o-\phi)sin(30^o+\phi) γίνεται μέγιστο

Η συνάρτηση f(\phi)=sin(120^o-\phi)sin(30^o+\phi) έχει παράγωγο f'(\phi)=sin(90^o-2\phi) που μηδενίζεται για \phi=45^o,

οπότε το ελάχιστο εμβαδόν για τη θέση x δίνεται : E(x)=\dfrac{3(2-\sqrt3)}{2}x(a-x) με m=\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt6}x, n=\dfrac{2\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt6}(a-x)

Τώρα αν οι αποστάσεις των P, M, Q από τη βάση BC είναι h1, h, h2 τότε h=\dfrac{h1+h2}{2}=\dfrac{1}{2}(m \cdot sin{45^o}+n \cdot sin{45^o})=\dfrac{3-\sqrt3}{4}a=const.

Αρα ο γ. τόπος του M είναι τμήμα (μήκους \dfrac{\sqrt3-1}{2}a) της ευθείας παράλληλης στην BC σε απόσταση h=\dfrac{3-\sqrt3}{4}a, τα άκρα του οποίου εύκολα προσδιορίζονται αν "πάρουμε" το S στις ακραίες θέσεις του B, C δηλ. x=0, x=a


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης