Ομοκυκλικά 2

KARKAR · #1

: Ομοκυκλικά.png (13.09 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές

Από το ορθόκεντρο

, ενός τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρουμε τμήμα

κάθετο

προς τη διάμεσο

. Δείξτε ότι τα σημεία B,H,S,C

είναι ομοκυκλικά .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

. To

είναι παραλληλόγραμμο και άρα $\hat{A}=\hat{F}$ .

Φέρνουμε το ύψος

του τριγώνου ABC

. Τα τετράπλευρα AEHZ

και

είναι εγγράψιμα στον ίδιο κύκλο K_1

.

Φέρνουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο K_2

του τριγώνου BHC

.
Έχουμε $\widehat{BHC}=\widehat{EHZ}=180^o-\hat{A}=180^o-\hat{F}$ . Άρα το τετράπλευρο BHCF

είναι εγγράψιμο στον κύκλο K_2

.

Από το παραλληλόγραμμο έχουμε ότι BF//AC

και επομένως $BZ \perp BF$ . Άρα η

αποτελεί διάμετρο στον K_2

.

Αφού $\widehat{HSF}=90^o$ έπεται ότι και το σημείο

βρίσκεται στον K_2

, άρα τα σημεία B,H,S,C

είναι ομοκυκλικά.

: Ομοκυκλικά 2.png (31.47 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε:Ομοκυκλικά.pngΑπό το ορθόκεντρο , ενός τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρουμε τμήμα κάθετο

προς τη διάμεσο . Δείξτε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά .

Με $\displaystyle{N}$ μέσον της $\displaystyle{AH}$ τα τρίγωνα $\displaystyle{ANE,EMC}$ είναι ισοσκελή κι επειδή $\displaystyle{\angle BAD = \angle ECB}$ όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες

Ακόμη ,η κόκκινη είναι συμπληρωματική της μπλε,άρα $\displaystyle{ME}$ εφαπτόμενη του μπλε κύκλου κι αν θεωρήσουμε τον περίκυκλο του $\displaystyle{\vartriangle ASC}$ τότε

$\displaystyle{M{E^2} = M{C^2} = MS \cdot MA \Rightarrow MC}$ εφαπτόμενη του κόκκινου κύκλου $\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{\angle x = \angle SCB}}$

Αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο

: e.t.png (30.24 KiB) Προβλήθηκε 489 φορές

Ομοκυκλικά 2

Ομοκυκλικά 2

Re: Ομοκυκλικά 2

Re: Ομοκυκλικά 2

Μέλη σε σύνδεση