Γέννηση από ... διχοτόμηση

KARKAR · #1

: Γέννηση από ... διχοτόμηση.png (12.88 KiB) Προβλήθηκε 798 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με AB=3,BC=7 , CA=6

, φέραμε την διχοτόμο

και την εξωτερική

διχοτόμο

. Ο κύκλος διαμέτρου

τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

, ενώ η

προεκτεινόμενη , τέμνει τον κύκλο στο

. α) Δείξτε ότι $\omega=2\theta$ ... β) Υπολογίστε το τμήμα

.

Ιστοσελίδα · #2

Καλημέρα!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε:Γέννηση από ... διχοτόμηση.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με , φέραμε την διχοτόμο και την εξωτερική

διχοτόμο . Ο κύκλος διαμέτρου τέμνει την προέκταση της στο σημείο , ενώ η

προεκτεινόμενη , τέμνει τον κύκλο στο . α) Δείξτε ότι $\omega=2\theta$ ... β) Υπολογίστε το τμήμα .

Καλημέρα στους φίλους!

: Γέννηση... από διχοτόμηση.png (19.48 KiB) Προβλήθηκε 760 φορές

α) Από θεωρήματα διχοτόμων προκύπτει ότι $EB=BC=7, BD=\dfrac{7}{3}, DC=\dfrac{14}{3}.$

$\displaystyle{CD \cdot CE = CA(CA + AS) \Leftrightarrow \frac{{196}}{3} = 36 + 6AS \Leftrightarrow }$ $\boxed{AS=\frac{44}{9}}$

Με θεώρημα Stewart στο τρίγωνο SBC

βρίσκω $\boxed{SB=\frac{49}{9}}$ Είναι: $\displaystyle{\frac{{SB}}{{SC}} = \frac{1}{2} = \frac{{BD}}{{DC}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\omega=2\theta}$

β) $\displaystyle{P\widehat ED = \theta \Leftrightarrow BP = BA = 3 \Rightarrow }$ $\boxed{SP=\frac{76}{9}}$

#4

KARKAR έγραψε:Γέννηση από ... διχοτόμηση.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με , φέραμε την διχοτόμο και την εξωτερική

διχοτόμο . Ο κύκλος διαμέτρου τέμνει την προέκταση της στο σημείο , ενώ η

προεκτεινόμενη , τέμνει τον κύκλο στο . α) Δείξτε ότι $\omega=2\theta$ ... β) Υπολογίστε το τμήμα .

Για μια καλημέρα στους αγαπητούς φίλους!. Χρησιμοποιώ το σχήμα του Γιώργο αμέσως πιο πάνω

Από το Θεώρημα της εξωτερικής διχοτόμου προκύπτει ότι $EB=7,BD=\dfrac{7}{3}$ . Από τις διχοτόμους σειρά $\left( E,B,D,C \right)$ είναι αρμονική άρα και η δέσμη είναι αρμονική και με $SE\bot SD\Rightarrow SD$ διχοτόμος της $\angle BSC\equiv \angle PSA\Rightarrow \omega =2\theta$ . Από συμμετρία είναι .Από θεώρημα τεμνομένων χορδών θα είναι $BS\cdot BP=EB\cdot BD\Rightarrow BS=\dfrac{49}{9}\overset{+SP=3}{\mathop{\Rightarrow }}\,SP=\dfrac{76}{9}$

Στάθης

#5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
KARKAR έγραψε:Γέννηση από ... διχοτόμηση.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με , φέραμε την διχοτόμο και την εξωτερική

διχοτόμο . Ο κύκλος διαμέτρου τέμνει την προέκταση της στο σημείο , ενώ η

προεκτεινόμενη , τέμνει τον κύκλο στο . α) Δείξτε ότι $\omega=2\theta$ ... β) Υπολογίστε το τμήμα .
Για μια καλημέρα στους αγαπητούς φίλους!. Χρησιμοποιώ το σχήμα του Γιώργο αμέσως πιο πάνω

Από το Θεώρημα της εξωτερικής διχοτόμου προκύπτει ότι $EB=7,BD=\dfrac{7}{3}$ . Από τις διχοτόμους σειρά $\left( E,B,D,C \right)$ είναι αρμονική άρα και η δέσμη είναι αρμονική και με $SE\bot SD\Rightarrow SD$ διχοτόμος της $\angle BSC\equiv \angle PSA\Rightarrow \omega =2\theta$ . Από συμμετρία είναι .Από θεώρημα τεμνομένων χορδών θα είναι $BS\cdot BP=EB\cdot BD\Rightarrow BS=\dfrac{49}{9}\overset{+SP=3}{\mathop{\Rightarrow }}\,SP=\dfrac{76}{9}$

Στάθης

Ο εκ Βρυξελλών ορμώμενος ...ταύρος ! .

Παίρνει τις μπουκιές από τα στόματα άλλων .

#6

1. Αν η

τέμνει ακόμα τον κύκλο στο

επειδή $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} \Rightarrow \tau o\xi ES = \tau o\xi ET$ .

Προφανώς λοιπόν $BS = BT = v\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA = BP = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\tau o\xi DA = \tau o\xi DP$ , οπότε

$\boxed{\widehat \omega = 2\widehat \theta }$ .

: Γέννηση απο διχοτόμηση.png (29.24 KiB) Προβλήθηκε 722 φορές

2. Επειδή ο κύκλος είναι ο του Απολλώνιου για κάθε σημείο

του οποίου ,

$\dfrac{{SB}}{{SC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = 2$ θα είναι EC = 2EB

δηλαδή το

είναι μέσο του

άρα

. Ας είναι τώρα SA = u

. Από το Θ. διχοτόμου $\boxed{DC = \dfrac{{a \cdot b}}{{b + c}} = \dfrac{{7 \cdot 6}}{9} = \dfrac{{14}}{3}}$

Θα ισχύουν τώρα :

$\left\{ \begin{gathered} CA \cdot CS = CD \cdot CE \hfill \\ \dfrac{{SC}}{{SB}} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 6(6 + u) = \dfrac{{{{14}^2}}}{3} \hfill \\ u + 6 = 2v \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{v = \dfrac{{49}}{9}}$ και άρα $SP = 3 + \dfrac{{49}}{9} \Rightarrow \boxed{SP = \dfrac{{76}}{9}}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε:Γέννηση από ... διχοτόμηση.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με , φέραμε την διχοτόμο και την εξωτερική

διχοτόμο . Ο κύκλος διαμέτρου τέμνει την προέκταση της στο σημείο , ενώ η

προεκτεινόμενη , τέμνει τον κύκλο στο . α) Δείξτε ότι $\omega=2\theta$ ... β) Υπολογίστε το τμήμα .

Μετά τη βέλτιστη λύση του Στάθη,μια με σχολικά(?)εργαλεία..

Λόγω ισότητας πράσινων και κόκκινων γωνιών τα μπλε τμήματα είναι ίσα όπως και τα κόκκινα άρα $\displaystyle{ED}$

μεσοκάθετος της $\displaystyle{SM}$ $\displaystyle{ \Rightarrow SB = MB}$ .Αρα (θ.τεμνομένων χοεδών) $\displaystyle{BP = AP = 3}$

Λόγω και του εγγράψιμου $\displaystyle{SAME}$ οι ροζ γωνίες είναι ίσες κι επειδή $\displaystyle{SE \bot SD}$ η $\displaystyle{SD}$ είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\angle BSC \Rightarrow \boxed{\angle BSC = 2\theta }}$

Εύκολα (θ.εξωτερικήςδιχοτόμου) παίρνουμε $\displaystyle{EB = 7,BD = \frac{7}{3}}$ και $\displaystyle{7 \cdot \frac{7}{3} = 3 \cdot SB \Rightarrow SB = \frac{{49}}{9} \Rightarrow \boxed{PS = \frac{{76}}{9}}}$

: dix.png (31.36 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Γέννηση από ... διχοτόμηση

Γέννηση από ... διχοτόμηση

Re: Γέννηση από ... διχοτόμηση

Re: Γέννηση από ... διχοτόμηση

Re: Γέννηση από ... διχοτόμηση

Re: Γέννηση από ... διχοτόμηση

Re: Γέννηση από ... διχοτόμηση

Re: Γέννηση από ... διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση