Μέγιστη τιμή τμήματος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11373
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστη τιμή τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Απρ 08, 2017 9:47 pm

Μέγιστη  τιμή  τμήματος.png
Μέγιστη τιμή τμήματος.png (14.81 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές
Οι αποστάσεις του σημείου S από τις κορυφές B,C του - μεταβλητής πλευράς -

ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , είναι SB=3 και SC=5 . Βρείτε τη μέγιστη

τιμή του SA και την πλευρά του ισοπλεύρου για την οποία συμβαίνει αυτό .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1599
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μέγιστη τιμή τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Απρ 08, 2017 11:09 pm

KARKAR έγραψε:
Μέγιστη τιμή τμήματος.png
Οι αποστάσεις του σημείου S από τις κορυφές B,C του - μεταβλητής πλευράς -

ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , είναι SB=3 και SC=5 . Βρείτε τη μέγιστη

τιμή του SA και την πλευρά του ισοπλεύρου για την οποία συμβαίνει αυτό .
Έστω AB=BC=CA=a.

Από την ανισότητα Πτολεμαίου για το τετράπλευρο ABSC έχουμε AB \cdot SC +AC \cdot BS \geqslant BC \cdot AS \Leftrightarrow 5a+3a \geqslant a \cdot AS \Leftrightarrow \boxed{AS \leqslant 8}.

Η ισότητα λαμβάνεται όταν έχουμε ισότητα στην ανισότητα Πτολεμαίου, δηλαδή όταν ABSC εγγράψιμο.

Αφού \widehat{BAC}=60^0, είναι \widehat{BSC}=120^0.

Στο SBC με Νόμο Συνημιτόνων έχουμε \boxed{a=BC=7}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Panagiotis11
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Κυρ Απρ 09, 2017 7:33 pm
Τοποθεσία: Πάτρα

Re: Μέγιστη τιμή τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Panagiotis11 » Κυρ Απρ 09, 2017 8:04 pm

Καλησπέρα.Είμαι καινούριο μέλος και ελπίζω το mathematica να βοηθήσει όχι μόνο εμένα αλλά και όλους αυτούς που θέλουν να ασχοληθούν περαιτέρω με τα μαθηματικά.

Όσον αφορά το πρώτο ερώτημα θα ήθελα να υποδείξω μια ακόμα απάντηση σύμφωνα με το Θεώρημα van Schooten:

Έστω σημείο N στη SA,ώστε SN=SB.Το τρίγωνο SBN είναι ισόπλευρο επειδή \angle BSA=\angle BCA=60°.Άρα BS=BN και\angle ABN=\angle SBC=60°- \angle NBC

Αλλά ANB τρίγωνο=BSC αφού AB=AC,BN=BS και\angle ABN=\angle SBC=60°-\angle NBC

'Αρα AN=SC,δηλαδή: SA= SN+NA= SB+SC= 5+3= 8


Μπορεί να απογοητευθείς αν αποτύχεις, αλλά είσαι χαμένος αν δεν προσπαθήσεις.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες